②因为
，则（2）可化为 0.
积分上式，得 2 . （3） 其中，c 是积分常数。由于质点 M 的初速恰足以使它上升到圆圈的最高点 A，则可取初始条件为 为 2 1 . .又有广义速度的零 时， 0。由此可得积分常数为 c=2g.于是式(3)变
注意，式（3）也通过广义能量积分得到。因为 L 不显含时间 t,则有广义能量积分。但因 T 中既有广义速度的二次齐次项 次齐次项T Mω R sin θ，所以广义能量不是系统的机械能。广义能量积分为 1 2 式(4)经整理即可变为式（3） 。从 C 到 B 所花时间为 2 2 ③平衡时， 1 . 1 2 . （4）
，其中 为质心运动轨迹的切线方向的单位矢量（沿 增
2
2
2
2
0 上式的分量形式为 2 2 0, 2 ρdξ. 2 0. （1）
下面求惯性力对 O 的力矩.为此取杆上距 O 处为ξ处且长为 dξ的微元，其质量为dm 对力矩有贡献的仅是惯性力中垂直于杆方向的部分. 作用于dm的惯性力对原点 O 的力矩为
2 3.7 一匀质杆 AB，长为 2a，质量为 m，两端分别沿一框架的铅垂边转动，如题 3.7 图所示。试求 AB 杆的运动方程，并求此 杆相对于框架的平衡位置。 解 取杆为系统，该系统仅有一个自由度。选取杆与框架垂边的夹角θ为广义坐标，则杆 AB 的质心 C 相对于框架的坐标为 , . 系统的动能为 1 2 1 2 1 2 1 22 1 22 2 3
2.1 试判断下列约束是完整的还是非完整的？ ① ② ③ 解 ①将约束方程与下式比较有
; ; .
A , , A 则有 2y, 1, 可见 , 即约束方程本身不能写成全微分形式。又因为 ,
, ,
, , ,
0 .
1, 1, 0.方程可积，故约束是非完整的。 ②将约束方程与下式比较有 A , , A 则有 1, 1, 1, 2 , , , 2 , , , 0 2 .
0,
故存在积分因子使约束方程是可积的，因而约束是完整的。 事实上，乘上积分因子为 ，可使得 2 是全微分形式。 2.16 光滑半球形碗是固定的，匀质杆长为 L，斜靠在碗边，棒的下端为碗所承托，上端则伸出碗外。试求棒的 平衡位置。在怎样的条件下才有可能平衡？ 解 将杆取为系统，它仅有一个自由度。取杆与水平方向的夹角 为广义坐标。 建立如图所示坐标系，则杆的质心坐标为 x 系统受到的主动力为重力 mg； 即 该系统则平衡时，满足虚功原理：δW δW ∑ •δ mgδy 0, 0 2 2 , 2 2 .
3
.
0，代入上式得
1 5 3 6 将式（4）代入式（5）消去 x，得 6 5 3 我们也可通过对应于 x, 的拉格朗日方程，求出 满足的关系. 将 L 分别代入 ， 对应的拉格朗日方程 0,
3
0. （5）
3
9
. （6）
0, （7） 0, （8）
1 5 3
3
注意，式（8）也可由式（4）对时间求导得到.由式（7） 、式（8）消去 得到 5 利用 3 3 9 3 5 3 0. （9）
是杆相对于过其质心且垂直于杆的轴的转动惯量， 是球壳绕 O 转动的角度.由无滑
1 5 3 6 以球壳中心所在平面为重力势能零势面，则系统的势能为
1 5 3 6 从拉格朗日函数可见，x 是可遗坐标，相应的广义动量是运动积分 1 5 3 此即系统在水平方向上的动量守恒. 由初始条件 0时， 0, , 0，得 3
（2） .
2 由上式得到 2 所以 又因 0是平衡位置。 . （4）
2 可见， ② 如果 ③ 如果 ④ 当 0，则 0，则 0时， 0，故平衡是稳定的； 0，平衡是不稳定的，长方体将从圆柱体上滑下； 0，此时要确定 0处平衡的稳定性，需计算 2 3 这表明 0处是不稳定的。 2
2
, （5）
对θ的高阶导数，直到有不等于零的导数。 2 3 0, 2 0,
3 2
2 这是一个“多质点”体系，由虚功原理 δW 即 6 由于 是任意的，则由式（2）可得 6 或 0. （4） ， ∑ •δ 0 得
2
.
0, 0. （2）
, （3）
即有两个解，要使式（3）有意义，则应有6 而式（4）表明： .
.
解法二：由于系统所受主动力均为有势力。以 x 轴为重力势能零势面，则该系统的势能为 2 平衡时有 6 由上式同样可得式（3）和式（4） 。 讨论平衡的稳定性 由式（5） ，可得 6 2 . （6） 0 2 2 1 2 6 . （5）
1, 可见 , 故约束是可积的，因而是完整的。事实上 2 是全微分形式。 ③约束方程可写为 2 将上式与下式比较有 A , , A 则有 2y, 0, 可见 , 即约束方程本身不能写成全微分形式。 但是 , , 2 , 2
1,
1.
,
,
2
2
2 , , 2 ,
0 0 2 .
2z, 0,
0, 0.
,
,
将式（4）和式（5）带入式（1）得约束反力为 3 4 当 ，即杆经过水平位置时，轴承处的约束反力为 2 3 , 1 4 3 1 .
N
3 mg, N 2
1 mg. 4
3.1 证明拉格朗日方程
也可写为
这称为拉格朗日方程的 Nielsen 形式或称为 Nielsen 方程。 证明：注意到 , 一般情况下是 , 及时间 t 的函数，则利用链式法则，有 , （1） . （2） 于是 . （3） 在式（3）的求偏导过程中，假设 是和 无关的变量。由式（1）和式（3）可得 . （4） 将式（4）带入拉格朗日方程可得
1 6
3
. （2）
. （3）
0。将此 c 值带回式（3）可解得 ， 1 6 。 1 6 5 0,得 1 3 3 3
. （4） 0，广义能量 h 就是系统的机械能，而广义能量积分就表
又 L 不显含时间 t，故有广义能量积分.但因 T 是广义速度的二次齐次式，即 示系统的机械能守恒，故 1 5 6 由初始条件 于是有 0时， 0, , 3
上面的通解表明θ随时间指数递增或递减，不会局限在 ② 有效势能方法。系统的有效势能可写为
2 3
,
则相对平衡位置可以通过条件
0得到，与前面的结果相同。在 4 3
0的稳定性由 2
的符号确定。因为 4 3 0,
即在
0处，有效势能有极大值，因而在该平衡点是不稳定的。
3.9 匀质球壳质量为 M，半径为 R，放置在粗糙水平面上，球壳内壁是光滑的，有匀质棒在壳内滑动，其初始状态 是：棒在通过球心的竖直面内，与水平面作 角而静止.棒的质量为 m,长为 。试证在运动过程中，棒与水平 面所夹角 满足方程 设球壳与粗糙水平面之间始终没有滑动，滑动摩擦可以忽略. 解 因薄球壳做无滑滚动，系统所受约束为完整理想约束.由薄球壳和杆组成的系统有两个自由度.建立题 3.9 图所示 的坐标系， x 轴沿水平方向，y 轴通过初始状态下薄球壳的质心.取杆与水平方向的夹角θ及薄球壳的质心坐标 x 为广义 坐标，则有坐标变换关系 , 系统的动能为 1 2 其中， 滚动条件知 是球壳对过球心轴的转动惯量， .所以 1 6 . 系统的拉格朗日函数为 3 . 2 1 2 1 2 1 2 , . （1）
, 负号为取顺时针方向为正方向所产生的. 所以惯性力对 O 的力矩为 1 3 由主动力,约束力以及惯性力对 O 点的力矩的矢量和为零可得 2 由式（3）可解出 3 2 利用 并考虑到初始条件 t=0 时, 0, . （4 ） 0,对式（4）积分并整理可得 1 . 3 0. （3） 1 3 . （2）
δy 由于 是任意的，则应有 2 2 0
0
2
2
2
0.
由上式即可解得 满足下列关系 √ 16 这里舍去了一个负根。 解法二：由于主动力重力是有势力，则也可按 0求平衡时满足的条件。 128 ,
系统的势能为 2 由 0得 2 同样可以得到
√
2
.
2
2
0
.
2.17 求下图所示简单平面机构在自重作用下平衡时的 角。 设各杆是匀质的， 质量都为 m。 杆和弹簧的原长均为 a， 弹簧的劲度系数为 k。弹簧的质量可以不计，而杆的铰接处是光滑的。 解 取杆及弹簧为系统，该系统有一个自由度，取φ为广义坐标，系统所受的主动力有重力和弹性力。建立 2.17 图 所示的坐标系，则各杆的质心坐标为 2 , 2 则 3 2 弹性力为 2 0, , , 2 , 2 2 , , , 2 , , 2 2 , , （1）
2.19 均匀杆质量为 m，长为 l,在铅垂面内绕 O 轴转动（题 2.19 图）.设杆从竖直位置无初速度地开始绕 O 轴转动.试用 达朗贝尔原理求当杆经过水平位置时轴承 O 处的约束反力. 解 取杆为系统，则杆受到主动力为重力 ，约束力 及惯性力 的作用。
在任意位置 处，杆的质心的加速度为 加的方向为正方向） ，n 为指向 O 的方向的单位矢量. 于是惯性力为 2 上式的 , .由达朗贝尔原理，得 2
2.18 在一轴为水平。半径为 R 的固定半圆柱顶上，放一质量为 m，长为 l，高为 h 的匀质长方体（题 2.18 图 （a） ） 。假定长方体相对于圆柱体无滑动，求长方体的平衡位置并讨论其稳定性。 解 将长方体作为系统，由于它和圆柱体的接触点无滑动，该系统仅有一个自由度。取任一时刻长方体和圆柱体 的接触点对竖直方向的夹角θ为广义坐标。设θ=0 时，长方体的质心正好在圆柱体中心的正上方，即长方体上 的 B 点与圆柱体的 A 点重合。于是，在任一时刻，有 。建立题 2.18 图（a）所示的坐标系，则 B 点的坐标为 , （1） , 长方体质心 C 的坐标为 2 2 长方体所受主动力为重力，是保守力。 取长方体处于水平位置时的重力势能为零，则任一时刻系统的势能为 2 平衡时，有 0，即 0. 2 1 . （3） ,
杆相对平衡时，有
0，带入式（2）得 3 4 0.