q = ∫ ρdV = ∫ 4πAr 3 d r = πAr 4
V 0
r
(r≤R)
以该球面为高斯面，按高斯定理有 得到
E1 = Ar 2 / (4ε 0 ) ， (r≤R)
E1 ⋅ 4 πr 2 = πAr 4 / ε 0
方向沿径向，A>0 时向外, A<0 时向里． 在球体外作一半径为 r 的同心高斯球面，按高斯定理有 E 2 ⋅ 4πr 2 = πAR 4 / ε 0 得到
一 选择题 ( 共27分)
1. (本题 3分)(1056)
(D)
2. (本题 3分)(1252)
(B)
3. (本题 3分)(1584)
(C)
4. (本题 3分)(1047)
(B)
5. (本题 3分)(5085)
(C)
6. (本题 3分)(1085)
(D)
7. (本题 3分)(1359)
(D)
8. (本题 3分)(1099)
2分 2分
(1) 导线表面处 (2) 圆筒内表面处
E1 =
U 12 ＝2.54 ×106 V/m R1 ln (R 2 / R1 ) U12 E2 = ＝1.70×104 V/m R2 ln(R2 / R1 )
2分 2分
20. (本题 5分)(1652)
解：(1) 令无限远处电势为零，则带电荷为 q 的导体球，其电势为 q U= 4πε 0 R 将 dq 从无限远处搬到球上过程中，外力作的功等于该电荷元在球上所具有的电 q d A = dW = dq 势能 3分 4πε 0 R (2) 带电球体的电荷从零增加到 Q 的过程中，外力作功为 Q qdq Q2 A = ∫d A = ∫ = 4πε 0 R 8πε 0 R 0
E 2 = AR 4 / 4ε 0 r 2 ，
3分
(
)
(r > R) 2分
方向沿径向，A>0 时向外，A<0 时向里．
18. (本题10分)(1653)
解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即 1 q1 q2 1 4πr12σ 4πr22σ U0 = + = − 4πε 0 r2 r1 r2 4πε 0 r1
3分
从上向下 mg / ( Ne )
13. (本题 4分)(1145)
1分 2分 2分 2分 2分 1分 2分 2分 2分
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-q -q
14. (本题 5分)(1206)
εr
1
εr
15. (本题 4分)(1511)
2 Fd / C 2 FdC
16. (本题 3分)(5681)
3.36×10 V/m 参考解：
we = 1 1 DE = ε 0 ε r E 2 2 2 2we 11 =3.36×10 V/m E=
11
3分
ε 0ε r
三 计算题 ( 共38分)
17. (本题 8分)(1373)
解：在球内取半径为 r、厚为 dr 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 d q = ρ d V = Ar ⋅ 4πr 2 d r 在半径为 r 的球面内包含的总电荷为
21. (本题 5分)(5，故电场中各点的电位移矢量 D 保持不变， w 1 1 1 1 又 w = DE = D2 = D02 = 0 2 2ε 0 ε r ε r 2ε 0 εr 因为介质均匀，∴电场总能量 W = W0 / ε r
四 回答问题 ( 共10分)
σ (r1 + r2 ) ε0 U ε 2 9 σ = 0 0 ＝8.85×10- C / m r1 + r2
=
3分 2分
(2) 设外球面上放电后电荷面密度为 σ ′ ，则应有 1 ′= (σ r1 + σ ′ r2 ) = 0 U0
ε0
即
σ′ = −
r1 σ r2
2分
外球面上应变成带负电，共应放掉电荷 r1 q′ = 4πr22 (σ − σ ′) = 4πr22σ 1 + r 2 9 = 4πσr2 (r1 + r2 ) = 4πε 0U 0 r2 ＝6.67×10- C
(C)
9. (本题 3分)(1341)
(B)
二 填空题 ( 共25分)
10. (本题 3分)(5086)
若电场由几个点电荷共同产生，则电场中任意一点处的总场强等于各个点电 荷单独存在时在该点各自产生的场强的矢量和． 3分
11. (本题 3分)(1279)
q1q2 4πε 0 r
12. (本题 3分)(2791)
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3分 2分
22. (本题 5分)(1015)
答：1. (1)、(2) 两式中的 q 意义不同．(1) 式中的 q 是置于静电场中受到电场力 2分 作用的试验电荷；(2)中的 q 是产生电场的场源电荷． 2. 式(1)是场强的定义式，普遍适用； 式 (2)适用于真空中点电荷的电场（或均匀带电球面外或均匀带电球体外 的电场）； v 式 (3)仅适用于均匀电场，且 A 点和 B 点的连线与场强 E 平行.而 l = AB . 3分
3分
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19. (本题10分)(1501)
解：设导线上的电荷线密度为λ，与导线同轴作单位长度的、半径为 r 的(导线半 径 R1＜r＜圆筒半径 R2)高斯圆柱面，则按高斯定理有 2πrE =λ / ε0 E = λ / (2πε0r) (R1＜r＜R2 ) 得到 方向沿半径指向圆筒．导线与圆筒之间的电势差 R2 v R λ λ R2 d r v = ln 2 U 12 = ∫ E ⋅ d r = ∫ R1 R 2 πε 0 1 r 2πε 0 R1 U 12 E= 则 rln (R2 / R1 ) 代入数值，则： 2分
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23. (本题 5分)(0585)
答：在 c 点，由于 q 受力沿中垂线向下，且初速为零，所以 q 沿力的方向向下作 加速运动．当 q 运动到 O 点时，受力为零，但由于速度不为零，故 q 通过 O 点继 续向下运动．过 O 点后，力的方向与运动方向相反，q 的速度愈来愈小，到－x 处速度为零，在力的作用下又向上运动．过 O 点又作减速运动，至 c 点速度又变 为零，然后再向下运动，……如此反复，形成以 O 为中心沿中垂线的周期性振 动． 5分