§8.1 概述
非本质非线性 对于非线性较弱的系统，可以将系统在一定范围内近似 成线性系统，从而利用线性系统理论方法来处理。
本质非线性
对于非线性特性较强的系统，即本质非线性系统，近 似成线性系统的方法显然无法适用，这时应考虑采用专 门针对非线性系统的解决方法。
非 线 性 产 生 的 缘 由
一种是系统中原有元件固有的非线性特性，如死区、 饱和、间隙等。这些非线性特性的存在很大程度上影 响着系统的动静态品质，直接导致系统模型成为非线 性模型。
5）混沌 蝴蝶效应
差若毫厘，缪以千里
源于研究非线性效应的美国气象学家洛伦茨，它的原意 指的是气象预报对初始条件的敏感性。
非线性系统运动的特殊性
1. 不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用 (区别）
2. 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输入，初条件有 关；平衡点可能不唯一，可以稳定且可以在多个平衡点稳定， 可能不稳定—发散、衰减等 3. 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自持振荡 非线性系统三种运动形式 收敛、发散、自持振荡 4. 发生频率畸变—频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频 响应，组合振荡
第六章 非线性系统分析 第八章 非线性控制系统分析
学习重点


了解非线性系统的特点，掌握非线性系统与线性系统的本质 区别； 了解典型非线性环节的特点； 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数的计算方法； 掌握分析非线性系统的近似方法——描述函数法，能够应用 描述函数法分析非线性系统的稳定性。
非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化 非线性系统研究方法
相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
仿真方法
全数字仿真 半实物仿真
非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止 非线性微分方程没有成熟的解法；
8.2 几种典型的非线性特性
饱和特性 死区特性 间隙特性（滞环特性） 继电器特性 变增益特性
间隙对系统影响：
相当于一个延迟τ时间的延迟环节,稳态裕度↓ 动态品质变坏
%
振荡性
（4）继电器特性
(t ) 0 m a e(t ) a, e 0 0 (t ) 0 a e(t ) m a, e x(t ) bsigne(t ) e(t ) a b (t ) 0 e(t ) m a, e b (t ) 0 e(t ) m a, e
在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
几种典型的非线性特性
分析非线性系统的两种工程方法
相平面法
1885年庞加莱首次提出。利用图解法将一阶和二阶系统的 运动方程转化为位置和速度平面上的相轨迹。可以比较直观、 准确的反应系统的稳定性、平衡状态和稳定精度以及初始条 件及参数对系统运动的影响。
(1)饱和特性(如运算放大器，学习效率等)
1. 对系统而言，饱和特性往往促使系统稳 定，但会减小放大系数，从而导致稳定 精度降低。 2. 饱和特性的例子是放大器，许多执行元 件也具有饱和特性。例如伺服电机。 3. 实际上，执行元件一般兼有死区和饱和 特性。
1 signx(t ) 1 x(t ) 0 x(t ) 0
另外一种是为了改善系统性能而加入的元件带来的非 线性特性，如继电器特性、变增益放大器等，这类非线 性特性往往能改善系统的品质，使系统具有比线性系统 更好的动态性能。
非线性系统运动的特性
1）初始条件与输入量对非线性系统的影响
初始条件不同时非线性系统不同的响应特性
而线性系统在任何输入信号及初始条件下系 统的暂态响应均相同。
理想继电 器特性
带死区的继 电器特性
带滞环的继 电器特性
带死区与滞环 的继电器特性
（5）变增益特性
k1e(t ) x(t ) k 2 e(t ) e(t ) a e(t ) a
式中
k1 , k 2 -变增益特性斜率
a -切换点
特点：使系统
在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅速；
适用于一、二阶非线性系统的分析，可确定稳定性和时 间响应性。
2）系统的稳定性也与输入信号的大小、初始条件有关
x 2 x x( x 1) x
非线性一阶系统的时间响应
x0et x(t ) 1 x0 x0et
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅与系统本身的结构
和元件特性有关，而且与系统初始条件也有关。因而对非线性系
统，不能笼统地讲系统是否稳定。
% (原系统稳定，此时系统必稳定）振荡性 , 饱和对系统运动特性的影响： 快速性 , 限制跟踪速度，跟踪误差 进入饱和后等效K↓
（2）死区特性
(如：电动机、水量元件、放大元件 及执行机构的不灵敏区造成的。 2. 死区特性最直接的影响是使系统存在稳态 误差，可能使系统不稳定，产生自持振荡 3. 当系统输入端存在小扰动信号时，在系统 动态过程的稳态值附近，死区的作用可减 小扰动信号的影响。
3）非线性系统可以产生自持振荡： 在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定的稳 定周期性响应。该周期响应过程物理上可实现并可保 持,通常将其称为自持振荡或自振荡； 线性系统只有两种工作模式：要么发散，要么收敛； 非线性系统有收敛、发散和自持振荡三种状态。
4）当非线性输入的信号为正弦作用时，由于非线 性其输出将不再是正弦信号，而包含有各种谐 波分量，发生非线性畸变。
0 y (t ) k x(t ) asignx(t )
x(t ) x(t )
式中 a为死区宽度， K-线性输出的斜率
死区对系统运动特性的影响：K↑
（ 3 ）间隙特性（滞环特性）
(如齿轮，液压油隙、磁性体的磁带特性等)
以齿轮传动为例，一对啮合齿轮，当主动轮 驱动从动轮正向运行时，若主动轮改变方向， 则需运行两倍的齿隙才可使从动轮反向运行。 间隙特性为非单值函数