循环小数的计算 1.17的“秘密”10.1428577∙∙=，20.2857147∙∙=，30.4285717∙∙=,…, 60.8571427∙∙= 2.推导以下算式 ⑴10.19= ；1240.129933== ；123410.123999333== ；12340.12349999= ； ⑵121110.129090-== ；12312370.123900300-== ；123412311110.123490009000-== ； ⑶ 1234126110.123499004950-== ；123411370.123499901110-== 以0.1234 为例，推导1234126110.123499004950-== ． 设0.1234A = ，将等式两边都乘以100，得：10012.34A = ； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A = ， 两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990a b c =，…… 例题精讲模块一、循环小数的认识【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
)【考点】循环小数的认识 【难度】2星 【题型】填空【关键词】第六届，希望杯，1试【解析】 因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为l.80524102007∙∙【答案】l.80524102007∙∙【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是0.1998∙∙，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998∙．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998∙∙，而次大数为0.1998∙∙，于是得到不等式：0.19980.19980.19980.1998∙∙∙∙∙∙∙>>>【答案】0.19980.19980.19980.1998∙∙∙∙∙∙∙>>>【例 2】 真分数7a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】1=0.1428577 ， 27=0.285714 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ， 67=0.857142 ．因此，真分数7a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427a ，即6a =． 【答案】6a =【巩固】 真分数7a 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？ 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 我们知道形如7a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组 成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不完整142857+++++组成。
()903912457833421÷+++++= ，而21276=-，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为67，所以6a =。
【答案】6a =【巩固】 真分数7a 化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？ 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 我们知道形如7a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，200963345÷= ，因此只需判断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a =。
【答案】3a =【巩固】 （2009年学而思杯4年级第6题）67÷所得的小数，小数点后的第2009位数字是 ．【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】 60.8571428571427=……6个数一循环，20096336÷=……3，是7 【答案】7【例 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【关键词】2003年，第1届小希望杯4年级【解析】 0.6+0.06+0.006+……=0.6 =6293==2002÷3003 【答案】3003【例 4】 下面有四个算式：①0.6+0.....1330.733;=②0.625=58； ③514+32=35142++=816=12； ④337×415=1425； 其中正确的算式是（ ）.（A ）①和② (B) ②和④ (C) ②和③ (D) ①和④【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2009年，第十四届，华杯赛，初赛【解析】 对题中的四个算式依次进行检验：① 0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正确； ② 0.625=58是正确的； ③ 两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过32﹥12即可判断出其不正确； ④ 337×145=247×215=725=2145，所以④不正确。
那么其中正确的算式是②和④，正确答案为B 。
【答案】B【例 5】 在混合循环小数2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【关键词】第一届，华杯赛，初赛【解析】 小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是2.718281。
【答案】2.718281【例 6】 将12化成小数等于0.5，是个有限小数；将111化成小数等于0.090…，简记为0.09 ，是纯循环小数；将16化成小数等于0.1666……，简记为0.16 ，是混循环小数。
现在将2004个分数12，13，14，…，12005化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？ 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试【解析】 凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因素不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个.【答案】801模块二、循环小数计算【例 7】 计算：0.30.030.003--= （结果写成分数形式） 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，一试【解析】 原式11189330300300=--=。
【答案】89300【巩固】 计算：0．3+0．3=_____(结果写成分数)。
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2005年，希望杯，第三届，五年级，一试【解析】 原式=311910330+= 【答案】1930【巩固】 请将算式0.10.010.001++ 的结果写成最简分数． 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】第三届，华杯赛，初赛【解析】 原式11110010111137990900900900300++=++===. 【答案】37300【例 8】 计算: 2.0042.008⨯ （结果用最简分数表示） 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2004年，第9届，华杯赛，总决赛，一试【解析】 原式＝481804200636188249047065606224900999900999899100224775224775⨯=⨯=== 【答案】56064224775【例 9】 将4255.4250.6350.63999⎛⎫⨯=⨯ ⎪⎝⎭的积写成小数形式是____. 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，初赛【解析】 ()59994250.63425341465.4250.6350.63 3.41809999999990⨯+⨯⎛⎫⨯=⨯=== ⎪⎝⎭【答案】3.4180【例 10】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++ 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++ 1121232343787898909090909090-----=+++++ 11121317181909090909090=+++++= 216 2.490= 方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010.020.030.040.080.09+++++=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)⨯ 12.12790=+⨯ 2.10.3 2.4=+= 【答案】2.4【巩固】 计算 （1）0.2910.1920.3750.526-++ （2）0.3300.186⨯ 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 （1）原式29119213755265999990999990--=+++291375521191999990+-=+6663301999990=+=（2）原式3301861999990-=⨯330185999990⨯=⨯581= 【答案】（1）1 （2）581【例 11】 ⑴ 0.540.36+= ⑵191.21.2427∙∙∙⨯+= 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 ⑴ 法一：原式5453649489990999011990-=+=+=． 法二：将算式变为竖式：0.5444440.3636360.908080+可判断出结果应该是··0.908，化为分数即是9089899990990-=． ⑵ 原式224191112319201199927999279=⨯+=⨯+= 【答案】⑴899990 ⑵209【巩固】 ⑴计算：0.160.1428570.1250.1+++ ⑵191.2 1.2427⨯+= ________． 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2007年，香港圣公会，2006年，第四届，希望杯，六年级，1试【解析】 ⑴ 原式161142857111001099999989-=+++-11112756789504=+++=； ⑵ 原式224191112319201199927999279=⨯+=⨯+=． 【答案】⑴275504 ⑵209【巩固】 ⑴ ····110.150.2180.3111⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭； ⑵ ()2.2340.9811-÷ (结果表示成循环小数) 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 ⑴原式1512182311909909111--⎛⎫=+⨯⨯ ⎪⎝⎭371111123456790.01234567999311181999999999=⨯⨯=== ⑵23422322.23422990990-== ，980.9899= ，所以23298242222.2340.982119909999090-=-== ， ()22122.2340.98111110.090.020.113901190-÷=÷=+=+= 【答案】⑴0.012345679⑵0.113【例 12】 0.30.030.0032009+++=÷ （ ）。