一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么
1212,b c x x x x a a
+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥
（2）注意公式重12b x x a
+=-的负号与b 的符号的区别 已知x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根
考点：根与系数的关系．专题：应用题．
分析：利用根与系数的关系，分别求得x1+x2，x1/x2的值，整体代入所求的代数式即可．
解：∵x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根
∴x1+x2=-b/a=12，x1×x2=c/a=-5/2
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2=-b/a ，x1×x2=c/a ．
（1）计算对称式的值
例一 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 2212x x +； (2)
1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
（2）定性判断字母系数的取值范围
例二 一个三角形的两边长是方程
的两
根，第三边长为2，求k 的取值范围。

例三 已知关于x 的方程221(1)104
x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．
例四 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．
(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2
x x x x --=-成立若存在，求出k 的值；若
不存在，请您说明理由．
(2) 求使
1221
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．
一元二次方程根与系数的关系练习题 A 组
1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A ．2k >
B ．2,1k k <≠且
C ．2k <
D ．2,1k k >≠且
2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则
1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12 D ．92
3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )
A ．3-
B ．5
C ．53-或
D ．53-或
4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )
A ．M ∆=
B ．M ∆>
C ．M ∆<
D ．大小关系不能确定
5．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111
b a a b --+--的值为( )
A ．20-
B ．2
C ．220-或
D ．220或 6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这
个直角三角形的斜边长是 _______ ．
8．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．
9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．
10．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b =
_____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法请您说明理由．
12．若0n >，关于x 的方程21(2)04
x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n
的值．
13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．
(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足
121112
x x +=-，求m 的值．
14．已知关于x 的方程221(1)104
x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根
(2) k 的值．
B 组
1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．
(1) 求k 的取值范围；
(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．
2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．
3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．
(1) 求实数k 的取值范围；
(2) 若1212
x x =，求k 的值．。