【中考攻略】专题 韦达定理应用探讨韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b c x +x =x x =a a-⋅，。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。

其逆命题：如果12x x ，满足1212b c x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。

韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0∆-≥。

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。

我们将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。

一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。

典型例题：例1：（湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】A ．－2B ．2C ．3D ．1【答案】C 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3。

故选C 。

例2：（湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】A.4.B.3.C.－4.D.－3.【答案】B 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得12c 3x x ===3a 1⋅。

故选B 。

例3：（山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】A ．x 2+2x ﹣4=0B ．x 2﹣4x+4=0C ．x 2+4x+10=0D ．x 2+4x ﹣5=0【答案】D 。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，必须方程根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，且x 1+x 2=﹣b a=﹣4。

据此逐一作出判断： A ．x 2+2x ﹣4=0：△=b 2﹣4ac=20＞0，x 1+x 2=﹣b a=﹣2，所以本选项不合题意； B ．x 2﹣4x+4=0：△=b 2﹣4ac=0，x 1+x 2=﹣b a =4，所以本选项不合题意； C ．x 2+4x+10=0：△=b 2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；D ．x 2+4x ﹣5=0：b 2﹣4ac=36＞0，，x 1+x 2=﹣b a=﹣4，所以本选项符号题意。

故选D 。

例4：（广西来宾3分）已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】A ．－2B ．0C ．1D ．2【答案】A 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】设方程的另一个实数根为x ，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x ＋1=－1，解得x=－2。

故选A 。

练习题：1. （重庆市3分）已知一元二次方程22x 3x 10--=的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2= ▲ 。

2. （浙江湖州3分）已知一元二次方程2x 12x 70+-=的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2的值是【 】A ．－12B ．12C ．－7D ．73. （广西来宾3分）已知一元二次方程x 2+mx ﹣2=0的两个实数根分别为x 1、x 2，则x 1·x 2= ▲ ．4.（湖北咸宁3分）若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】A ．3-B ．1-C ．1D ．35.（云南昆明3分）若x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4=0的两根，则x 1+x 2与x 1•x 2的值分别是【 】A 、﹣72，﹣2B 、﹣72，2C 、72，2D 、72，﹣2二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（()()f x y =f y x ，，），则称这个代数式为完全对称式，如2211x +y +x y，等。

扩展后，可以视x y -中x 与y -对称。

典型例题：例1：（四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为【 】A ． ﹣3B ． 3C ． ﹣6D ． 6 【答案】A 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】由一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，根据一元二次方程根与系数的关系得，x 1+x 2=3，x 1x 2=―1，∴x 12x 2＋x 1x 22=x 1x 2（x 1＋x 2）=（－1）·3=－3。

故选A 。

例2：（山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为【 】A ．9B ．±3C ．3D ．5【答案】C 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】∵m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，∴m ＋n=-mn=1。

故选C 。

例3：（江苏南通3分）设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝ ▲ ．【答案】4。

【考点】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，∴m 2＋3 m －7＝0，即m 2＋3 m ＝7；m ＋n ＝－3。

∴m 2＋4m ＋n ＝（m 2＋3 m ）＋（m ＋n ）＝7－3＝4。

例4：（湖北鄂州3分）设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，且21222x (x 6x 3)a 4+-+=，则a= ▲ .【答案】10。

【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。

【分析】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，∴x 22＋5x 2－3=0，x 1x 2=－3。

又∵21222x (x 6x 3)a 4+-+=，即212222x (x 5x 3x )a 4+-++=，即122x (0x )a 4++=。

∴122x x a 4+=，即()23a 4-+=，解得a=10。

练习题：1. （湖南张家界3分）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则11+m n = ▲ ．2. （四川泸州3分）设x 1，x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则221212x x 4x x ++的值为 ▲3. （山东日照4分）已知x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，那么2112x x x x +的值为 ▲ . 4. （黑龙江绥化3分）设a ，b 是方程x 2＋x －=0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ▲5. （黑龙江大庆4分）若方程2x x 10--=的两实根为a 、b ，求11a b+的值． 6. （湖北荆州、荆门3分）关于x 的方程2ax (3a 1)x 2(a 1)0-+++=有两个不相等的实根1x 、2x ， 且有1122x x x x 1a -+=-，则a 的值是【 】A.1B.1-C. 1或1-D.27.（贵州黔东南4分）若a 、b 是一元二次方程2x 2011x 10-+=的两根，则11a b +的值为【 】 A 、2010 B 、 C 、20101 D 、20111 8. （江苏苏州3分）已知a 、b 是一元二次方程2x 2x 10--=的两个实数根，则代数式()()a b a b 2ab -+-+的值等于 ▲ ．9. （山东德州4分）若x 1，x 2是方程x 2+ x ﹣1=0的两个根，则x 12+ x 22= ▲ ．10. （广西玉林、防城港6分）已知：1x 、2x 是一元二次方程2x 4x 10-+=的两个实数根．求： 2121211(x x )()x x +÷+的值． 三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。

扩展后字母可为代数式。

典型例题：例1：（湖北随州4分）设242a 2a 10b 2b 10+-=--=，，且1－ab 2≠0，则522ab +b 3a+1a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭= ▲ .例2：（四川内江12分）如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程20,(0),x mx n n ++=≠求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a 、b 满足221550,1550a a b b ---==-,求a b b a+的值； （3）已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==求正数c 的最小值。

【答案】解：（1）设关于x 的方程20,(0)x mx n n ++=≠的两根为12,x x ，则有： 1212,.x x m x x n +=-=，且由已知所求方程的两根为1211,x x ∴12121211x x m x x x x n +-+==，12121111x x x x n⋅==。

∴所求方程为210m x x n n --+=，即210(0)nx mx n ++=≠。

（2）∵a 、b 满足221550,1550a a b b --=--=，∴a 、b 是方程21550x x --=的两根。

∴15,5a b ab +==- 。

∴()()2222221522475a b ab a b a b a b b a ab ab ab +-+++===-=-=--。

（3）∵0,16a b c abc ++==且0c > ∴16,a b c ab c +=-=。

∴a 、b 是一元二次方程()()21600x c x c c--+=>的两个根， 代简，得 ()221600cx c x c ++=> 。