三角形面积（讲义）一、知识点睛1．三角形相关概念：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的____________．（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的________叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．在△ABC 中，作出AC 边上的高线．________即为所求．（4）三角形的相关定理：2．面积问题：（1）处理面积问题的思路：①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．CB A180⎧⎪︒⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和是；角直角三角形两锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）处理面积问题方法举例：①利用平行转移面积：如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．②利用等分点转移面积：两个三角形底相等时，面积比等于_____之比，高相等时，面积比等于_____之比．二、精讲精练1．现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．103．△ABC 的三边分别为4，9，x ．（1）求x 的取值范围；（2）求△ABC 的周长的取值范围；（3）当x 为偶数时，求x ；（4）当△ABC 的周长为偶数时，求x ；（5）若△ABC 为等腰三角形，求x．l 2l 1第2题图4．如图，△ABC 的角平分线AD ，中线BE 交于点O ，则结论：①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABC 的中线．其中（ ）A ．①，②都正确B ．①，②都不正确C ．①正确，②不正确D ．①不正确，②正确5．如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是_______，AB 边上的高是_______；在△BCE 中，BE 边上的高是________，EC 边上的高是_________；在△ACD 中，AC 边上的高是________，CD 边上的高是________．6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．都有可能7．如图，在正方形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正方形ABCD 的外角，P 是∠DCE的角平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于_________．第7题图第8题图8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，连接BD ，BE ，若梯形ABCD 的面积为25cm 2，则△BDE 的面积是__________．9．正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为____________．第4题图OE D CBA 第5题图FABD EC ABCD E第9题图10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．第10题图 第11题图11．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是_______个．12．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 在AD 上，AE =2DE ，若△ABE 的面积是4，则△ABC 的面积是_______．第12题图 第13题图13．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．14．如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF S △BEF =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =_______．ABCDE第14题图ABC DEF第15题图BC D16．如图，设E ，F 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF 交于点D ．若△BDF ，△BCD ，△CDE 的面积分别是3，7，7，则△EDF 的面积是_______，△AEF 的面积是______．第16题图第17题图17．如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25cm 2和35cm 2，那么梯形的面积是_____________．18．如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为20cm 2，△CDQ 的面积为35cm 2，则阴影四边形EPFQ 的面积是_________．19．如图，若梯形ABCD 面积为6，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为DC 的三等分点，则四边形EFNM 的面积是_________．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】ABCDFE 3525AB DCONMABCDF E【知识点睛】1.（1）线段，在三角形内部，重心；（2）线段，在三角形内部，内心；（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部；作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转移法；（2）②对应高，对应底【精讲精练】1．B2．C3．（1）5＜x＜13（2）18＜x＜26（3）6，8，10，12（4）7，9，11（5）9 4．C5．AF，CE，CE，BE，DC，AC6．C7．28．25cm29．1610．6 11．512．1213．214．B15．1 16．3，1517．144 cm218．55cm219．2三角形面积（作业）1.现有2cm，4cm，6cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高4.在直角三角形，钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能5.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是_______个．6.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，10.如图所示，在□ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 在边CD 上，CF =2DF ，若□ABCD 的面积为12，则△EDF 的面积是_______．第10题图 第11题图11.四边形ABCD 与AEFG 均为正方形，△ABH 的面积为6cm 2，图中阴影部分的面积是______________．12.多项式4x 2+4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．13.已知：如图，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠1=∠2．求证：AB ∥DG ．【参考答案】1．A 2．D 3．C 4．B 5．56．87．1cm 28．309．6；210．111．6cm 212．5；-4，-4x 2，x 4，-8x ，8x13．证明略21DCBGE A F三角形面积（随堂测试）1.现有2cm ，3cm ，4cm ，5cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.如图，一个面积为50cm 2的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ABC的面积是________________．第2题图第3题图3.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为2，则点C 的个数是_______个．（在图中标出点C 的位置）4.如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别是是AB ，BC 的中点，连接EF ，若□ABCD的面积是8cm 2，则△BEF 的面积是________．【参考答案】1．C2．25cm 23．104．1cm 2DCBAFE A BDC三角形综合应用（讲义）一、知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：1.三角形中的隐含条件是：_____________________________________________________；_____________________________________________________；_____________________________________________________．2.角平分线出现时采用______________解决问题．3.高线出现时考虑__________或__________．4.中线、周长一起出现时，考虑________和________的关系．二、精讲精练1.下列五种说法中：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不少于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余，正确的有___________________________________．2.如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2的度数为______．第2题图第3题图3.如图，一个五角星的五个角的和是________．4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．A12C B ED CBAA BC DEF5.如图①，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，AB ∥CD ，∠ADC =40°，∠ABC =30°，则∠AEC =________；如图②，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，∠ADC =α，∠ABC =β，则∠AEC =_________________．图①图②6.探究：（1）如图①，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图②，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想P 和∠A 有何数量关系？（3）如图③，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？图① 图② 图③7.如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO 的度数为____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．B ANEM GD CAENMD CGB EC AB FPECBAPCBPA BNAM CED O第7题图8.在锐角△ABC 中，BD 和CE 是两条高，相交于点M ，BF 和CG 是两条角平分线，相交于点N ，如果∠BMC =100°，求∠BNC 的度数．9.等腰三角形的周长为17cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________．10.等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边长为________．11.等腰三角形的周长是25cm ，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，则此三角形的底边长为________________．12.已知BD 是△ABC 的中线，AB =5，BC =3，△ABD 和△BCD 的周长的差是________________．13.如图：△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E ，连接AD ，若AE =4cm ，则△ABD 的周长是____________．14.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________；（2）若AB =2，BC =3，则AC : AD =____________．第14题图第15题图15.如图所示，在△ABC 中，若AB =2cm ，AC =3cm ，BC =4cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD : BF : CE =____________________．A E GBNM D FC ABDEC ABDBF A E DC16.如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC ，求证：PD +PE =BF ．三、回顾与思考_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】1.三角形中的隐含条件：1．三角形内角和是180°；2．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；3．三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边．2.设元3.互余，面积4.边长，周长【精讲精练】1．①③⑤2．130°3．180°4．360°5．35°；（α+β）6．（1）∠P =90°+∠A （2）∠P =∠A AFE CPBD 121212（3）∠P =90° ∠A7．（1）90°（2）∠BOD =∠COE 8．130°9．5cm 或7cm 10．3cm 11．5cm 或cm 12．213．22cm14．（1）（2）3:215．3:4:616．（1）（2）略三角形综合应用随堂测试题 姓名________5.如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E =．6.如图，E 和D 分别在△ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF ，EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，若∠B =65°，∠D =45°，则∠F 的大小是________．第1题图第2题图7.等腰三角形周长为14cm ，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为5cm ，则此等腰三角形的底边长为___________．8.如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于点D ，DF ⊥CE 于点F ，其中∠A =40°，∠B =72°，求∠FDE ．【参考答案】1．180°2．55°3．4．16°1235324572ABD C EE DFABCCAEDFB43三角形综合应用（作业）1.满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）A ．∠B +∠A =∠CB ．∠A :∠B :∠C =2 : 3 : 5C ．∠A =2∠B =3∠CD ．一个外角等于和它相邻的一个内角2.2=______________．3.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =__________．第3题图第4题图4.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若∠CAB 与∠CBA 的平分线相交于点O ，则∠AOB =__________．5.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 与外角平分线CE 的反向延长线相交于点D ，若∠A =30°，则∠D =________．第5题图第6题图6.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC ，∠B =40°，∠C =70°，则∠DFE =__________．7.等腰三角形的周长为21cm ，其中一边长为6cm ，则该等腰三角形的底边长为__________．BACDE F ABC OABECFDABCD EF8.等腰三角形周长为17cm ，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为4cm ，则此等腰三角形的底边长为__________．9.如图，在△ABC 中，若AB =2cm ，BC =4cm ，则△ABC 的高AD 与CE 的比是__________．10.如图，在△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC =50°，∠C =60°，求∠DAC 及∠BOA 的度数．11.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC于E ．CF ⊥AD 于H ，交AB 于F ．下列说法中正确的有_____________________．①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACF 边CF 上的高；⑤BG 是△ABD 的中线．12.已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠C 的数量关系，并说明理由.【参考答案】1．C 2．270°3．360°4．135°5．15°6．15°7．6cm 或9cm 8．3cm 或cm 9．10．30°；120°25312F 54321ABCD E第12题图第9题图A BCDE 第10题图AF COE DB第11题图A BCDEFG H11．③④⑤12．∠AED =∠C ，证明略平行线与三角形内角和的综合应用（讲义）一、知识点睛1．如果两个角的和是____，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是____，那么称这两个角互为补角；①_____或_____的余角相等，②_____或_____的补角相等．2．对顶角：____________________________________________；③对顶角____．3．④三角形的内角和为_____，⑤直角三角形两锐角_____．已知：如图，△ABC ．求证：∠BAC +∠B +∠C =180°．证明：_____，______________________________，∵MN ∥BC∴∠B =∠1，∠C =∠2（ ）∵∠1+∠2+∠3=180°（ ）∴∠BAC +∠B +∠C =180°（）二、精讲精练1． 如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，如果∠AOD =50°，则∠BOC 的度数是______．第1题图第2题图2． 如图，∠COD 为平角，AO ⊥OE ，∠AOC =2∠DOE ，则有∠AOC =_______．3． 已知：如图，OA ⊥OB ，直线CD 经过顶点O ，若∠BOD :∠AOC =5:2，则∠AOC =_____，∠BOD =_______．DA OCBCAO DE31A 2NMBCBC4． ‘如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，则∠A 的余角是_______和________，∠ACD =∠_______，∠BCD =∠______．5． 如图，△ABC 中，∠B =∠C ，E 是AC 上一点，ED ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为D ，F ，若∠AED =140°，则∠C = ，∠BDF = ，∠A = ．第5题图第6题图6． 已知：如图，，∠1=110o ，∠2=30o ，则∠C =______．7． 已知：如图，∠BAC 与∠GCA 互补，∠1=∠2，若∠E =46°，则∠F 的度数是多少？8． 已知：如图，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，∠1=∠2．求证：BE ∥CF ．证明：∵AB ⊥BC ，BC ⊥CD ( )∴______=______=90°（垂直的性质）∵∠1=∠2 ( ) ∴∠EBC =∠BCF ( ) ∴___∥___( )D BCAD FB C EA A BCDE12//AE BD 1AEC2DFB21CG DFE BA9． 已知：如图，∠1＋∠2=180°，∠3=∠B ．求证：∠AED =∠C .证明：∵∠1＋∠2=180°（ ）∠1＋∠DFE =180°（ ）∴_____=______ （ ）∴∥（ ）∴∠3=∠ADE （）∵∠3=∠B （ ）∴∠ADE =∠B （ ）∴___∥___ （ ）∴∠AED =∠C（）10． 已知：如图，∠1=∠2，∠C =∠D ．求证：∠F =∠A .证明：∵∠1=∠2 （ ）∠1=∠DGF （ ）∴∠2=∠DGF （ ）∴____∥_____ （ ）∴∠D =∠FEC （ ）∵∠C =∠D （ ）∴∠FEC =∠C （）∴DF ∥AC （ ）∴∠F =∠A .（）三、回顾与思考___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．90°；180°；同角；等角；同角；等角．2．具有公共顶点且角的两边互为反向延长线；相等．3．180°；互余；如图，过点A 作BC 的平行线MN ；两直线平行，内错角相等；1平角=180°；等量代换．二、精讲精练第9题图第10题图ED G 2H 1FB AC 2F 13D AEB1．50°2．60°3．60°；150°4．∠ACD ，∠B ；∠B ；∠A 5．50°；40°；80°6．40°；7．46°；8．已知；∠ABC ，∠BCD ；已知；等角的余角相等；BE ，CF ；内错角相等，两直线平行；9．已知；1平角=180°；∠2，∠DFE ，同角的补角相等；AB ，EF ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；DE ，BC ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．10．已知；对顶角相等；等量代换；CE ，BD ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．平行线与内角和的综合应用（随堂测试）1．已知：如图，AD 与AB ，CD 交于A ，D 两点，EC ，BF 与AB ，CD交于E ，F ，且∠1=∠2，∠B=∠C ．求证：∠A=∠D ．证明：∵∠1=∠2（）∠CGD =∠1 （ ）∴______=______（ 等量代换）∴CE//BF （ ）∴_____=∠3 （ ）又∵∠B ＝∠C（）∴∠3＝______ （ ） ∴____//_____ （ ）∴______=______（）ABCDF E E HFGDC BA3212．已知：如图，EF⊥BC，DE⊥AB，∠B=∠ADE．求证：AD∥EF．证明：∵EF⊥BC，DE⊥AB （）∴∠EFB=∠AED=90° （垂直的性质）∴∠BEF+∠B=90° （直角三角形两锐角互余）∠BAD+∠ADE=90° （）Array∵∠B=∠ADE （）∴∠BEF=∠BAD （）∴______∥______ （）【参考答案】1．已知；对顶角相等；∠CGD，∠2；同位角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等；已知；∠B；等量代换；AB，CD；内错角相等，两直线平行；∠A，∠D，两直线平行，内错角相等．2．已知，直角三角形两锐角互余；已知；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．平行线与三角形内角和的综合应用（作业）1.如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠AOF =3∠FOB ，∠AOC =90°，则∠EOC =．第1题图第2题图2.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =55°，∠1=25°，则∠DBE =________．3.如图，∠1+∠2=180°，∠3=90°，则∠4=______.4.如图，D 是△ABC 边BC 上的一点，∠1=∠B ，若∠ADC =60°，则∠BAC =_______．解：∵∠B +∠C ＋∠BAC =180° （）∠1+∠C ＋∠ADC =180°（ ）∵∠1=∠B （ ）∴∠BAC =∠ADC （等式的性质）∵∠ADC =60° （ ）∴∠BAC =________（）AECODFBC1DBEA42C13ODF B EA1DBCA 第4题图321HF ED B A5.已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．证明：作BC的延长线CE，过点C作CD∥AB，∵CD∥AB∴∠A=∠1（）∠B=∠2（）∵∠1+∠2+∠3=180°（）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）6.已知：如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°．求证：∠E=90°．证明：∵AB∥CD( )∴______+______=180°( )∵∠BAE=∠DCE=45°( )∴∠1+45°+∠2+45°=______即∠1+∠2=_______ ( )∴∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°( ) 7.已知：如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3．求证：CD∥HF.证明：∵∠1=∠ACB （）∴____∥____（）∴∠2=____（）∵∠2=∠3（）∴∠3=____ （）∴____∥____ （）BA312CDE45°1245°EDB AC第6题图第5题图第7题图【参考答案】1．45°；2．30°；3．90°；4．60°，三角形三个内角的和是180°三角形三个内角的和是180°；已知；已知；60°；等量代换．5．两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；1平角=180°；等量代换．6．已知；∠BAC，∠ACD，两直线平行，同旁内角互补；已知；180°，90°，等式的性质；三角形三个内错的和等于180°；7．已知；DE，BC；同位角相等，两直线平行；∠DCB，两直线平行，内错角相等；已知；∠DCB，等量代换；CD，HF，同位角相等，两直线平行．三角形的外角（讲义）一、知识点睛1._________________________组成的角，叫做三角形的外角．2.三角形外角定理：三角形的一个外角等于____________________________________．已知：如图，∠2是△ABC 的一个外角．求证：∠2=∠A +∠B 证明：如图，∵∠A +∠B +∠1=180° （）∠1+∠2=180° （ ）∴∠2=∠A +∠B（）二、精讲精练11． 已知：如图，AC ∥ED ，∠C =25°，∠B =35°，则∠E 的度数是（）A ．60°B ．85°C ．70°D ．50°第1题图 第2题图12． 已知：如图，在△ABE 中，D 是边BE 上一点，C 是AE 延长线上一点，连接CD ，若∠BDC =140°，∠B =35°，∠C =25°，则∠A =．13． 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=________．14． 如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于点F ，∠A =60°，∠ACD =35°，∠ABE =20°，则∠BDC =_____，∠BEC =_____．BACE DCABED12CDB A第4题图 第5题图15． 已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长线于点G ，∠A =45°，∠ADE =60°，∠CEG =40°，则∠EGH =______．16． 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE 平分∠BAC ，BF 平分∠ABC ，它们相交于点O ，∠BAC =50°，∠C =70°，则∠DAC =____，∠AED =_____，∠BOE =______．17． 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，AD 平分外角∠EAC ．求证：AD ∥BC ．CBADEFAEHG C BDF第6题图FO E D ABC第7题图B ACDE18．已知：如图，BE是∠ABC的平分线，AB∥CE，∠A=50°，∠E=30°，求∠ACD 的度数．第10题图【参考答案】一、知识点睛1．三角形的一边与另一边的延长线；2．和它不相邻的两个内角的和；三角形三个内角的和为180°；1平角=180°；等式性质．二、精讲精练1．A2．80°；3．75°；4．95°，80°；5．145°；6．20°，85°，55°；7．证明：如图，∵AD平分∠EAC（已知）∴∠EAC=2∠EAD（角平分线定义）∵∠EAC为△ABC的一个外角（外角的定义）∠B=∠C（已知）∴∠EAC=∠B+∠C=2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠EAD=∠B（等式性质）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）8．已知；∠E，两直线平行，内错角相等；已知；30°，等量代换；已知；已知；∠A，∠ABC，50°，60°，110°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；9．已知；DE，BC，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；外角的定义；∠EBD，∠EDB，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；10．证明：如图，∵∠B=∠ADE（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠FDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）∵CD平分∠ACB（已知）∴∠DCB=∠FCD（角平分线的定义）∴∠FDC=∠FCD（等量代换）∵∠EFC是△DFC的一个外角（外角的定义）∴∠EFC=∠FDC+∠FCD=2∠FDC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）几何证明每日一题（三角形的外角）1．已知：如图，直线AD 与直线EB 、FC 分别相交于点G ，H ，若∠BEF +∠CFE =180°，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°．2．已知：如图，在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，若∠A =50°，求∠BOC 的度数．3．已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，DE 的延长线交BC 的延长线于点F ．若∠ACB =50°，∠DFB =30°，∠ADF =80°，求∠A 的度数．HGFEDCBAOCBA4．已知：如图，点D ，E ，F 分别在△ABC 的三边BC ，AB 和AC 上，AD 平分∠BAC 且AD 平分∠EDF ，若∠CFD =75°，则∠BED 的度数为多少？5．已知：如图，直线AD 分别与直线BF ，DG 相交于点C ，D ，E 是DG 上一点，若∠D=∠A+∠B ，∠BFE =75°，∠G =35°，求∠EFG 的度数．【参考答案】1.证明：如图，∵∠BEF +∠CFE =180° （ 已知 ）∴BE ∥CF （ 同旁内角互补，两直线平行 ）∴∠BGH +∠CHG=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）∵∠BGH 是△ABG 的一个外角（外角的定义）∴∠BGH =∠A +∠B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠CHG 是△CHD 的一个外角（外角的定义）F DGECBA FEDCBAGFEDCBA∴∠CHG =∠C +∠D （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠A +∠B +∠C +∠D =∠BGH+∠CHG=180°（等式性质）2.证明：如图，∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB （ 已知 ）∴∠OBC =∠ABC ，∠OCB =∠ACB （ 角平分线的定义 ）∵∠A =50° （ 已知 ）∴∠BOC =180°-∠OBC -∠OCB=180°-∠ABC -∠ACB=180°-（∠ABC +∠ACB ）=180°-（180°-∠A ）=90°+∠A=115° （ 三角形的三个内角的和等于180°）3.解：如图，∵∠ADF 是△BDF 的一个外角 （ 外角的定义）∴∠ADF =∠B +∠DFB （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ADF =80° ，∠DFB =30° （ 已知 ）∴∠B =50° （ 等式性质 ）∵∠ACB =50° （已知）∴ ∠A =180°-∠B -∠ACB=180°-50°-50°=80° （ 三角形的三个内角的和等于180°）4.证明：如图，∵AD 平分∠BAC 且AD 平分∠EDF （ 已知）∴∠FAD =∠EAD ，∠FDA =∠EDA （ 角平分线的定义）∴∠FAD+∠FDA =∠EAD+∠EDA（等式性质）12121212121212∵∠CFD是△ADF的一个外角（外角的定义）∴∠CFD=∠FAD+∠FDA （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BED是△ADE的一个外角（外角的定义）∴∠BED=∠EAD+∠EDA （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BED=∠CFD（等量代换）∵∠CFD=75°（已知）∴∠BED=75° （等量代换）5.证明：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠A+∠B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠A+∠B （已知）∴∠D=∠ACF（等量代换）∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）∴∠FEG=∠BFE（两直线平行，内错角相等）∵∠BFE=75°（已知）∴∠FEG=75°（等量代换）∵∠G=35°（已知）∴∠EFG=180°-∠FEG-∠G=180°-75°-35°=70°（三角形的三个内角的和等于180°）三角形的外角（随堂测试）1．如图，AB ∥CD ，EG 与AB ，CD 分别交于F ，G ，∠A =30°，∠EGD =70°，求∠E 的度数．解：∵_____∥______ （）∴∠EFB =______（ ）∵∠EGD =70°（ ）∴∠EFB =_______（）∵∠EFB 是△AEF 的一个外角（ ）∴∠EFB =_______+_______（ ）∵∠A =30°（ ）∴∠E =______-________=______-________=_______（）2．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ，交AB 于点E ，∠A =30°，∠BDC =60°，求∠BDE 的度数．解：∵∠BDC 是△ABD 的一个外角（ ） ∴∠BDC =____+______（ ） ∵∠A =30°，∠BDC =60°（ ）∴∠ABD =____-______=____-______=______（ ） ∵BD 是∠ABC 的平分线（） ∴∠DBC =∠ABD=_______（） ∵DE ∥BC （）∴∠BDE =______G F EDC BA ABCDE= _____ （ ）【参考答案】1．AB ，CD ，已知；∠EGD ，两直线平行同位角相等；已知；70°，等量代换；外角的定义；∠A ，∠E ，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；∠EFB ，∠EAB ，70°，30°，40°，等式性质．2．外角的定义；∠ABD ，∠A ，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；∠BDC ，∠A ，60°，30°，30°，等式性质；已知；30°；角平分线的定义；已知；∠DBC ，30°，两直线平行内错角相等．三角形的外角（作业）1．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中α的度数是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°第1题图 第2题图2．如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为AC 上一点，延长BC 到点D ，连接DE ．若∠1=115°，∠A =40°，∠2=35°，则∠3=_______．3．如图，AB ∥CD ，EG 与AB ，CD 分别交于F ，G ，∠E =40°，∠CGE =110°，则∠A =_______．60°45°αFD 2C3EA B 1EFACGDBCE AD B第3题图 第4题图4．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE 是∠BAC 的平分线，若∠B =70°，∠C =30°，则∠BAD =_______，∠AED =_______．5．如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，∠C =60°，AD ⊥BC ，BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 相交于点F ，求∠AFB 的度数．解：∵∠C =60°，∠BAC =50°（ ）∴∠ABC =180°-_____-∠C=180°-50°-60°=70°（ ）∵BE 是∠ABC 的平分线（）∴∠EBD =∠ABC=35° （ 角平分线的定义 ）∵AD ⊥BC （）∴∠ADB =90° （ 垂直的性质）∵∠AFB 是△BDF 的一个外角（）6．C 7．12FADBCE【参考答案】1．C；2．40°；3．30°；4．20°，70°；5．已知；∠BAC；三角形三个内角的和等于180°；已知；已知；外角的定义；∠FDB；∠FBD；90°；35°；125°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；6．外角的定义；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；30°；等式性质；已知；等式性质；40°；60°；80°；三角形三个内角的和等于180°；7．证明：如图，∵∠AFE是△FEB的一个外角（外角的定义）∴∠AFE=∠E+∠B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠E+∠B （已知）∴∠AFE=∠D （等量代换）∴AB∥CD （同位角相等，两直线平行）全等三角形性质及判定（讲义）一、知识点睛1.由_____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“__________”表示．2.三角形有关定理：三角形两边之和____________第三边，两边之差___________第三边．3._____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“__________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等．4.全等三角形的判定定理：______________________________．二、精讲精练1.作出下图三角形的高线．第1题图第2题图2.如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，____________，__________，对应角∠B =∠DEF ，________，_________．3.如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，___________，__________，对应角∠1=∠2，__________，__________．第3题图第4题图4.如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，___________，___________，对应角_______________，_______________，______________．CB AAB C DE FO21BC A ABCDE5.如图，若AD =CB ，AB =DC ，则_________≌__________，理由是___________________；若∠B =∠D ，∠BCA =∠DAC ，则_________≌________，理由是___________．第5题图第6题图6.如图，AD ，BC 相交于点O ，若AO =DO ，BO =CO ，则__________≌___________，理由是________________．7.如图，AO =BO ，若加上一个条件_____________________，则△AOC ≌△BOC ，理由是_________________________．第7题图第8题图8.如图，∠1=∠2，若加上一个条件____________________，则△ABE ≌△ACE ，理由是_______________．9.如图，AD ，BC 相交于点O ，∠A =∠C ，若加上一个条件_______________，则△AOB ≌△COD ，理由是___________．10.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．①②③都带去ABC DAB CDOAC BOABCE12①②③11.如图，AB ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是____________或____________或____________．第11题图第12题图12.如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB =如果∠__________=∠____________，则△ABC ≌△DEF ，所以BC =________，因此BE =________．13.如图，AE =BF ，AD ∥BC ，AD =BC ，则△ADF ≌_________，理由是__________，因此DF =__________．14.已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ．求证：△ADC ≌△AEB ．15.已知：如图，AB ＝CD ，AB //DC ．试猜想AD 和BC 相等吗？并说明理由．ABCDE12F E DC B A第14题图AB CDE 第15题图AB CD16.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．求证：CD DE ．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“△”表示．2．三角形有关定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“≌”表示．全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．全等三角形的判定定理：SSS ，SAS ，ASA ，AAS ．二、精讲精练1．略2．AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，∠ACB =∠F3．AO =BO ，CO =CO ，∠A =∠B ，∠ACO =∠BCO 4．AB =DE ，AC =DC ，BC =EC ，∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠ACB =∠DCE5．△ADC ，△CBA ，SSS ，△ADC ，△CBA ，AAS 6．△AOB ，△DOC ，SAS7．AC =BC ，SSS （其它答案合理也可以）8．BE =CE ，SAS （其它答案合理也可以）9．AO =OC ，ASA （其它答案合理也可以）10．C11．AC =AE ，∠B =∠D ，∠C =∠E12．∠A =∠D ，EF ，CF13．△BCE ，SAS ，CE14．证明：在△ADC 和△AEB 中第16题图ACDE∴△ADC ≌△AEB （ASA ）15．解：AD =BC ，理由如下：∵AB ∥DC∴∠ABD =∠CDB 在△ABD 和△CDB 中∴△ABD ≌△CDB （SAS ）∴AD =CB （全等三角形对应边相等）16．解：∵AD 平分∠BAC ∴∠CAD =∠EAD ∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90° ∵∠C ＝90°∴∠DEA =∠C 在△CAD 和△EAD 中∴△CAD ≌△EAD （AAS ）∴CD =ED （全等三角形对应边相等）A AAC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（公共角）（已知）（已知）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD ABD CDBBD DB （已知）（已证）（公共边）C DEA CAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边）全等三角形性质及判定（每日一题） 姓名_________1.已知：如图，DF =CE ，AD =BC ，∠D =∠C ．求证：△AED ≌△BFC ．2.已知：如图，在等边三角形ABC 中，∠C =∠ABD =60°，AB =BC =AC ，点D ，E 分别为BC ，AC 边上一点且AE =CD ，连接AD ，BE 相交于点F ．求证：△ABD ≌△BCE ．3.已知：如图，AB =CD ，AC =BD ．求证：．4.如图，在正方形ABCD ，DEFG 中，AD=CD ，DE=DG ，∠EDG=∠ADC =90°，连接CG 交AD 于点N ，连接AE 交CG 于点M ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．FE D CBACDFEBA12∠=∠21OCDBAEFGM NDCBA考答案】1．证明：如图，∵DF =CE ∴DF -EF=CE -EF 即DE =CF在△AED 和△BFC 中∴△AED ≌△BFC （SAS ）2．证明：如图，∵AC =BC AE =CD∴AC -AE =BC -CD 即CE =BD在△ABD 和△BCE 中∴△ABD ≌△BCE （SAS ）3．证明：如图，在△ABC 和△DCB 中∴△ABC ≌△DCB （SSS ）∴∠ABC =∠DCB ，∠ACB =∠DBC ∵∠1=∠ABC -∠DBC ∠2=∠DCB -∠ACB ∴∠1=∠2AD BCD CDE CF （已知）（已知）（已证）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB BCABD CBD CE （已知）（已知）（已证）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD AC BDBC BC （已知）（已知）（公共边）=⎧⎪=⎨⎪=⎩FE D CBACDFEBA21OCDBA4．证明：如图，（1）∵∠EDG ＝∠ADC∴∠EDG +∠ADG=∠ADC +∠ADG 即∠ADE ＝∠CDG 在△ADE 和△CDG 中∴△ADE ≌△CDG （SAS ）∴AE =CG （2）AE ⊥CG ∵∠ADC =90°∴∠GCD +∠CND =90°∵△ADE ≌△CDG ∴∠EAD ＝∠GCD ∵∠ANG ＝∠CND ∴∠EAD +∠ANG =90°∴∠AMC =90°即：AE ⊥CGAD CDADE CDGDE DG （已知）＝（已证）（已知）=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩EFGM NDCBA全等三角形性质及判定（随堂测试）1.已知：如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_______________，对应角∠ABC =∠DEF ，_______________，_______________．第1题图第2题图2.如图，∠BAD =∠CAE ，AB =AD ，若加上一个条件_______________，则△ABC ≌△ADE ，理由是_________．3.已知：如图，A ，F ，C ，D 在一直线上，AF =CD ，AB ∥DE ，且AB =DE ．求证：EC =BF ．【参考答案】1.AC =DF BC=EF∠A =∠D∠C =∠F2.AE =AC SAS 或者∠B =∠ADE ASA或者∠C =∠EAAS3.证明略DE BF CACDEBAC B DAF E全等三角形性质及判定（作业）1.作出下图三角形的高线．2.如图，△ABC ≌△AEF ，有以下结论：①AC =AE ；②∠FAB =∠EAB ；③EF =BC ；④∠EAB =∠FAC ．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第2题图第3题图3.如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，_____________，___________，对应角∠B =∠DEF ，___________，__________．4.如图，点B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BC =EF ，若加上一个条件______________________，则△ABC ≌△DEF ，理由是_______________．CB AAEF C B EBA D F C21ABCDEF5.如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，若加上一个条件___________，则△ABC ≌△ADE ，理由是________________．第5题图第6题图6.如图，将两根钢条AA ′，BB ′的中点O 连在一起，使AA ′，BB ′可以绕着点O 自由旋转，就做成了一个测量工件，则A ′B ′的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△OA ′B ′的理由是（ ）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAS7.已知：如图，AC ，BD 相交于点O ，AO =CO ，BO =DO ．求证：△ABO ≌△CDO ．8.已知：如图，M 是AB 的中点，∠1=∠2，∠C =∠D ，MC 和MD 相等吗？说明理由．9.已知：如图，AD ⊥BC ，BD =CD ．求证：AB =AC ．AECBDA ′B ′ABOABCDODCBA 12ABC DM。