《有限元分析与应用》详细例题试题1：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较：1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算；3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。

一．问题描述及数学建模无限长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无限长的地基看着平面三角形的底边受固定支座约束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。

二．建模及计算过程1. 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算下面简述三节点常应变单元有限元建模过程（其他类型的建模过程类似）：1.1进入ANSYS【开始】→【程序】→ANSYS 10.0→ANSYS Product Launcher →change the working directory →Job Name: shiti1→Run1.2设置计算类型ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK1.3选择单元类型单元是三节点常应变单元，可以用4节点退化表示。

ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options… →select K3: Plane Strain→OK→Close (the Element Type window)1.4定义材料参数材料为钢，可查找钢的参数并在有限元中定义，其中弹性模量E=210Gpa，泊松比v=0.3。

ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural→Linear →Elastic→Isotropic→input EX:2.1e11, PRXY:0.3→OK1.5生成几何模型✓生成特征点ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints →In Active CS→依次输入四个点的坐标：input:1(0,0),2(3,0),3(6,0),4(3,5),5(0,10),6(0,5)→OK✓生成坝体截面ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Arbitrary →Through KPS →依次连接1,2,6;2,3,4;2,4,6;4,5,6这三个特征点→OK1.6网格划分ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→(Size Controls) Global: Set →input NDIV: 1→OK →(back to the mesh tool window)Mesh: Areas, Shape: Tri, Free →Mesh →Pick All (in Picking Menu) →Close( the Mesh Tool window)1.7模型施加约束✓分别给下底边和竖直的纵边施加x和y方向的约束ANSYS Main Menu: Solution→Define Loads →Apply→Structural →Displacement→On lines→选择底边→OK→select:ALL DOF →OK✓给斜边施加x方向的分布载荷ANSYS 命令菜单栏: Parameters→Functions →Define/Edit→1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数：1000*{X}；3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters→Functions →Read from file：将需要的.func 文件打开，任给一个参数名，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution→Define Loads →Apply→Structural →Pressure →On Lines →拾取斜边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table (来自用户定义的变量)→OK →选择需要的载荷参数名→OK1.8 分析计算ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS→OK(to close the solve Current Load Step window) →OK1.9 结果显示确定当前数据为最后时间步的数据ANSYS Main Menu: General Postproc →Read Result→Last Set查看在外力作用下的变形ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results→Deformed Shape→select Def + Undeformed→OK查看节点位移分布情况Contour Plot→Nodal Solu…→select: DOF solution→Displacement vctor sum→Def + Undeformed →OK查看节点应力分布情况Contour Plot→Nodal Solu…→select: Stress→XY shear stress→Def + Undeformed→OK 1.10 退出系统ANSYS Utility Menu: File→Exit…→Save Everything→OK三．结果分析三节点常应变单元（6个节点，4个单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力图，节点应变图六节点常应变单元（6个节点，4个单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力图，节点应变图分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算结果比较相符。

分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算结果比较可知，三节点常应变单元的结果好些。

2.分别采用不同数量的三节点常应变单元计算三节点常应变单元（13个节点，14个单元） 几何模型图单元划分方案变形大小应力大小 应变大小 值的比较分析 三节点三角形单元 DMX:0.109E-05 SMX:0.109E-05DMX:0.109E-05 SMN:2778 SMX:8749 DMX:0.109E-05 SMN: 0.344E-07 SMX: 0.108E-06 1.最大变形值小； 2.最大应力值小； 3.最大应变值小。

六节点三角形单元 DMX:0.289E-05 SMX:0.289E-05DMX:0.289E-05 SMN:-976.202 SMX:11598DMX:0.289E-05 SMN: -0.121E-07 SMX: 0.144E-061.最大变形值大；2.最大应力值大；3.最大应变值小。

变形图，节点位移图，节点应力图，节点应变图分别采用不同数量的三节点常应变单元计算结果相符。

分别采用不同数量的三节点常应变单元计算结果比较可得，节点多的比节点少的精确。

单元划分方案 位移大小应力大小 应变大小 值的比较分析 三节点三角形单元 （6节点4单元） DMX:0.109E-05 SMX:0.109E-05DMX:0.109E-05 SMN:2778 SMX:8749 DMX:0.109E-05 SMN: 0.344E-07 SMX: 0.108E-06 1.最大变形值小； 2.最大应力值大； 3.最大应变值大。

三节点三角形单元（13节点14单元）DMX:0.178E-05SMX:0.178E-05DMX:0.178E-05 SMN:990.156 SMX:8000DMX:0.178E-05 SMN: 0.123E-07 SMX: 0.990E-071.最大变形值大；2.最大应力值小；3.最大应变值小。

3.当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案三节点常应变单元（6个节点，4个单元）（另一种方案）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力图，节点应变图当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案结果比较相符。

分别采用不同方案相同节点相同单元的三节点常应变单元计算结果比较可得，第二种划分的方案精确。

试题2：图示为带方孔（边长为80mm）的悬臂梁，其上受部分均布载荷（p=10Kn/m）作用，试采用一种平面单元，对图示两种结构进行有限元分析，并就方孔的布置（即方位）进行分析比较，如将方孔设计为圆孔，结果有何变化？（板厚为1mm，材料为钢）一．问题描述及数学建模悬臂梁受集中载荷以及均布载荷的作用可看作一个平面问题，简化为平面四边形受力问题，悬臂梁固定在墙上的部分看作是受全约束的作用，悬臂梁受力面的受集中载荷以及均布载荷的作用。

二．建模及计算过程有限元建模选用Solid单元的8节点82单元建模，材料为钢，可查找钢的参数并在有限元中定义，其中弹性模量E=210Gpa，泊松比v=0.3。

悬臂梁的左侧受全约束作用，同时梁上受集中载荷以及均布载荷的作用。

三．结果分析带斜方孔的悬臂梁（450节点130单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力图，节点应变图带正方孔的悬臂梁（441节点127单元）几何模型图带圆形孔的悬臂梁（423节点121单元）几何模型图将三种方案进行比较相符。

根据以上分别采用不同方案的计算结果比较可得，带圆孔的悬臂梁的变形应力应变都最小，可得出先用圆孔设计最合理。

模型方案位移大小应力大小 应变大小 值的比较分析 带方孔（斜置）的悬臂梁 DMX:0.003182 SMX:0.003182DMX:0.003182 SMN:-127762 SMX:16794 DMX:0.003182 SMN: -0.158E-05 SMX: 0.208E-06 1.最大变形值中； 2.最大应力值中； 3.最大应变值中。

带方孔（正置）的悬臂梁 DMX:0.003193 SMX:0.003193DMX:0.003193 SMN:-144314 SMX:56804 DMX:0.003193 SMN: -0.179E-06 SMX: 0.703E-06 1.最大变形值大； 2.最大应力值大； 3.最大应变值大。

带圆孔的悬臂梁 DMX:0.003163 SMX:0.003163DMX:0.003163 SMN:-167003 SMX:16617DMX:0.003163 SMN: -0.207E-05 SMX: 0.206E-061.最大变形值小；2.最大应力值小；3.最大应变值小。