有限元分析与应用试题
1.有限元求解问题的主要思路是什么？并做简要介绍。
● 将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化） 离散化
将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。
两段之间的连接点称为节点，每个有限段称为单元。
第i 个单元的长度为L i ，包含第i ，i+1个节点。
● 用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分析） 单元分析
用单元节点位移表示单元内部位移－第i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。
线性插值所得到的
第i 结点的位移
第i 结点的坐标
第i 个单元的 应变
)
()(1i i
i i i x x L u u u x u --+=+i
u i
x i
i
i i L u u dx du -==
+1εi
i i i i L u u E E )(1-=
=+εσ
应力
内力
将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统（整体分析）
首先把外载荷集中到节点上：
把第i 单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上 建立结点的力平衡方程：对于第i+1结点，由力的平衡方程可得 （i=1，n-1）
i
i i i i L u u EA A N )
(1-=
=+σ2
)
(11+++=
-i i i i L L q N N )
(2
)()(11121++++++=---i i i i i i i i L L q
L u u EA L u u EA
令
对于第n+1个结点，第n 个单元的内力与第n+1个结点上的外载荷平衡，
再加上约束条件
因此可以得到n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个结点的位移。
有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素”的，在发展初期，许多学术权威对该方法的学术价值有所鄙视，国际著名刊物Journal of Applied Mechanics 许多年来拒绝刊登有关有限元方法的文章，其理由是没有新的科学实质。
现在完全不同了，由于有限元方法在科学研究和工程分析中的地位，
1
+=
i i
i L L λ22
1)11(2)1(i i
i i i i i L EA q u u u λλλ+=-++-++1()2
n n n
n n n EA u u qL N A L σ+-==
=
EA
qL u u n n n 221=
+-+0
1=u
有关有限元方法的研究已经成为数值计算的主流。
涉及有限元方法的杂志有几十种之多。
2.常用大型通用有限元软件和专用有限元软件有哪些，专用有限元软件分别应用于哪些领域？
常用大型通用有限元软件：
ADINA、 ABAQUS、 ANSYS、 MSC/Marc、 MSC/Nastran
一些专用有限元软件
LS_DYNA、 PAM-CRASH、 MSC/Dytran (碰撞）、 Autoform、 DYNAFORM、、PAM-STAMP（冲压）、DEFORM(体积成形)、 SysWeld（焊接）、 MOLDFLOW(注塑)、 ProCast (铸造)、AdvantEdge (切削) 、 SimFact(体积成形) LS_DYNA 它以Lagrange算法为主，兼有ALE和Euler算法；以显式求解为主，兼有隐式求解功能；以结构分析为主，兼有热分析、流体-结构耦合功能；以非线性动力分析为主，兼有静力分析功能（如动力分析前的预应力计算和薄板冲压成型后的回弹计算）
PAM-CRASH 大位移、大旋转、三维碰撞等精确模拟，能够简单的处理异常复杂的边界约束。
在汽车、铁路机车、船舶、航空航天等行业应用广泛。
MSC/Dytran 爆炸与冲击、水下/空中弹体发射过程、金属弹塑性大变形成形、安全防护分析等碰撞领域。
Autoform 薄板冲压成型仿真领域，如冲压件、管胀件及弯管件的成型工艺性分析、工件设计、模面设计等。
Dynaform被用于模拟钣金成形工艺，软件可应用于不同的领域，汽车、航空航天、家电、厨房卫生等行业。
可以预测成形过程中板料的裂纹、起皱、减薄、划痕、回弹、成形刚度、表面质量，评估板料的成形性能，从而为板成形工艺及模具设计提供帮助。
3.写出三维问题的应力平衡微分方程和小应变几何方程的分量表达式。
应力平衡微分方程
小应变几何方程的分量表达式
4.简述最小势能原理和虚位移原理的基本思想。
最小势能原理是弹性体在外力作用下保持平衡，在满足位移边界条件的所有可能位移中，真实位移使系统的总势能取最小值。
虚位移原理的基本思想是外力作用下处于平衡状态的弹性体，产生约束许可的微小虚位移（并同时在弹性体内产生虚应变），外力在虚位移上所作的虚功等于弹性体内各点的应力在相应的虚应变上所作的虚功
5.简述有限元方法的求解过程。
（1）平面问题的有限元方法的求解过程
1.几何离散：三角形单元或四边形单元
三角形单元——平面问题中最简单的单元
2.单元特征分析
1.构造位移函数
2.单元应变能
3.单元外力功（单元等效
节点力）
3.单元集成：系统的总势能
4.变分处理：系统的平衡方程（组）
5.应用位移边界条件求出节点位移
6.由节点位移求出单元的应变、应力
（2）三维问题的有限元求解过程
离散时采用体单元：四面体或六面体
求解步骤和平面问题完全一样
单元分析的时候将二维扩充到三维
（3）轴对称问题的有限元求解过程
研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系(r,θ,z)，以z轴为对称轴
由于对称性: 4个应力分量，4个应变分量，2个位移分量
6.整体刚度矩阵的主要特点有哪些？并简要说明解释
对称由单元刚度矩阵的对称性所决定
奇异由单元刚度矩阵的奇异性所决定
稀疏整体刚度矩阵的多数元素为零，非零元素的个数只占较小的部分。
非零元素带状分布整体刚度矩阵的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内
7.分别写出三节点三角形单元和四节点四边形单元的单元位移函数。
三节点三角形单元位移函数 →
→ N —单元形状函数矩阵
q e
—单元节点位移矩
四节点四边形单元的单元位移函数
10
2
3
41
(1)(1)
41(1)(1)
4
1(1)(1)
41(1)(1)
4
x x y y N a
b
x x y y N
a b
x x y y N
a
b
x x y y N a
b --⎧
=
--
⎪⎪--⎪=+
-
⎪⎨--⎪=+
+
⎪⎪
--⎪=-
+
⎩
111122223333111122223333
1[()()()]21[()()()]
2u a b x c y u a b x c y u a b x c y u A v a b x c y v a b x c y v a b x c y v A
⎧=++++++++⎪⎪⎨
⎪=++++++++⎪⎩111
2321
2
32330000
u v N N N u u N N N v v u v ⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪
=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭
(,)(,)e x y x y =u N q )
(21
y c x b a A
N i i i i ++=
矩形单元的重心坐标
推论
8.结构单元有哪些？
两大类杆件单元和板壳单元，其中杆件单元包括轴力杆单元，弯曲梁单元和一般杆件单元。
板壳单元包括板单元（基于Kirchhoff 理论的板单元和基于Mindlin 理论的板单元），壳单元（平板壳元，曲面壳元）。
00,x y -
1
2341
2
34000 0(,)0
0 N
N N N x y N N N N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
N 1
2341
2
34 0 0
00 0(,)[]0 00
0 x N N N N x y N N N N y y x ⎡⎤
∂⎢
⎥∂⎢⎥
⎢⎥⎡⎤∂=∂=⎢⎥⎢⎥∂⎣
⎦
⎢⎥⎢⎥
∂∂⎢⎥∂∂⎣⎦
B N (,)T
e
e
e
S S tdxdy x y dxdy
==⎰⎰K B DB F T T
e e p
e S
l tdxdy tdl
=+⎰⎰P N b N p
9.有限元分析的三个阶段是什么？简述有限元建模的一般步骤。
三个阶段：前处理，计算及后处理
一般步骤：问题分析、几何模型的建立、单元类型的选择、单元特性的定义、网格划分、模型检查、边界条件定义、在已有有限元模型的基础上进行计算、结果比较
10.简述提高有限元分析精度的常用方法。
细分单元，缩小网格尺寸，有限元建模过程的选择等。