高考立体几何精髓-正方体
一、基础知识：
㈠11种展开图
（二）用一个平面截正方体。

可得到以下三角形、矩形、正方形、五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形。

具体做法：
三角形——过一个顶点与相对的面的对角线以内的范围内的线。

矩形——过两条相对的棱或一条棱。

正方形——平行于一个面
五边形——过四条棱上的点和一个顶点或五条棱上的点。

六边形——过六条棱上的点。

正六边形——过六条棱的中点。

菱形——过相对顶点。

梯形——过相对两个面上平行不等长的线。

二、技巧应用
①利用正方体构造反例判断命题的真假.
【例１】已知a，b，c是直线，是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，则b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥，b，
则a∥b；④若a与b异面，且a∥，则b与相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直.其中真命题的个数是（）.
Ａ. １Ｂ. ２Ｃ. ３Ｄ. ４
解：构造如图１所示的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１.对①选ＡＢ为a，ＢＣ为b，ＣＣ１为c，显然a不平行于c，所以①不正确；②显然正确；对③选
ＡB为a，平面ＣＣ１Ｄ１Ｄ为，ＣＣ１为b，a与b不平行，所以③不正确；
对④选ＡＢ为a，Ｂ１Ｃ１为b，过ＡＡ１中点且垂直于ＡＡ１的平面为，显然
a、b都与平行，所以④不正确；对⑤所有平行于a、b的公垂线的直线（有无数
条）都与a、b垂直，所以⑤不正确；故选Ａ.
②将复杂的点、线、面关系置于正方体中解题
【例2】ＭＮ是两条互相垂直的异面直线a，b的公垂线段，点Ｐ是线段ＭＮ上除Ｍ，Ｎ外一动点，若点Ａ是a上不同于公垂线垂足的一点，点Ｂ是b上不同
于公垂线垂足的一点，则△ＡＰＢ是（）.
Ａ. 锐角三角形
Ｂ. 钝角三角形
Ｃ. 直角三角形
Ｄ. 以上均有可能
解：如图２，把异面直线a，b，及公垂线段ＭＮ置于正方体中，
则ＡＰ２＝ＡＭ２＋ＭＰ２，ＢＰ２＝ＢＮ２＋ＮＰ２，
ＡＢ２＝ＢＮ２＋ＡＮ２＝ＢＮ２＋ＡＭ２＋ＭＮ２，
∴ＡＰ２＋ＢＰ２－ＡＢ２＝ＭＰ２＋ＰＮ２－ＭＮ２＝ＭＰ２＋ＰＮ２－（ＭＰ＋ＰＮ）２＝－２ＭＰ·ＰＮ<0.
∴△ＡＰＢ为钝角三角形，故选Ｂ.
【点评】当点、线面关系比较复杂时，可以寻找一个载体（如正方体），将它
们置于其中，这是解题的很好途径。

③将正四面体补成正方体
例1 （2006年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E 为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三
棱锥P—DCE的外接球的体积为（）
A. B.
C. D.
解析：根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体，且棱长为1。

以此正四面体来构造正方体，使正四面体的各棱分别是正方体各面的对角线，如图2。

则正方体的棱长为
，正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为。

又正方体的外接球也为正四
面体的外接球，所以外接球的半径为。

所以，
故选C。

④。

、将三棱锥补成正方体
例2 （2006年全国I卷）如图3，l1、l2是相互垂直的异面直线，
MN是它们的公垂线段。

点A、B在l1上，AM=MB=MN。

（I）证明AC⊥NB；
（II）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

解析：（I）证明略。

（II）由（I）及∠ACB=60°，可知NA、NB、NC两两垂直且
相等，故可将三棱锥C—ABN补成正方体NASB—CQPR，如图4
所示。

连结PN，由RN⊥BC，知PN⊥BC。

同理，PN⊥AC。

所以PN⊥平面ABC。

设垂足为O，则∠OBN就是NB与平面ABC所成角。

设正方体棱长为1，则
由sin∠OBN，得cos∠OBN=
⑤、将三棱柱补成正方体
例3 （2006年全国II卷）如图5，在直三棱柱中，AB=BC，D、E分
别为BB1、AC1的中点。

（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（II）设AA1=AC=，求二面角A1—AD—C1的大小。

解析：（1）证明略。

（2）由题设AA1=AC=，可知为正方形，∠ABC=90°。

将棱柱补成正方体，如图6所示。

易知所求二面角恰是二面角
的一半。

作正方体的截面。

由图知
，，所以。

同理，。

于是∠是二面角的平面角的补角。

而△是正三角形，
∠=60°，故二面角为120°，从而二面角是60°。

⑥. 将四棱柱体特殊化为正方体解题
【例3】若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cosα=.
解：∵本题为填空题，∴不妨设正四棱柱为一个正方体，而在正方体中与各个面所成角都相等的直线是体对角线，如图3，即图中∠ＣＡ１Ｄ是所求的α.若令正方体棱长为
１，则Ａ１Ｄ＝，Ａ１Ｃ＝，
【点评】用特殊化思想是解决本题的捷径.
⑦、由共点且两两垂直的三条相等线段构造正方体
例4 （2001年高考题）如图7，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90o，
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。

（I）求四棱锥S—ABCD的体积；
（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

解析：延长AD到E，使DE=AD，以AE、AB、AS为棱构造正方体，如图8所示。

则有：
图8
（I）
（II）延长CD、BA相交于F，连结SF，易知SF//AB'。

又可知AB'⊥面CBS，所以SF⊥面SBC，故∠BSC为面SCD与面SBA所成的角。

在直角△SBC中，SB=从而tan∠BSC=
⑧、由共边且互相垂直的两个正方形面构造正方体
例5 （2002年高考题）如图9，正方形ABCD、ABEF的边长
都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。

点M在AC上移动，
点N在BF上移动，若CM=BN=a（0<a<）。

（I）求MN的长；
（II）当a为何值时，MN的长最小；
（III）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小。

解析：（I）与（II）略。

（III）以正方形ABCD、ABEF为相邻面构造正方体如图10所示，面MNA与面MNB 所成的角，即面ACE与面CF'E所成的角的补角（因为面MNB//面CF'E）。

在正四面体ACEF'中，易求相邻面所成的二面角的余弦为。

所以二面角A—MN—B的平面角为。