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高考文科数学解答题专项训练(含解析)

20XX届高考文科数学---解答题专项训练中档题满分练(一)1.(2015·山东高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=33,sin (A+B)=69,ac=23,求sin A和c的值.2.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.3.在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.4.(2015·湖北高考)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1) 求数列{a n},{b n}的通项公式;(2) 当d>1时,记c n=a nb n,求数列{c n}的前n项和T n.中档题满分练(二)1.已知函数f (x )=2a sin ωx cos ωx +23cos 2ωx -3(a >0,ω>0)的最大值为2,且最小正周期为π.(1)求函数f (x )的解析式及其对称轴方程;(2)若f (α)=43,求sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α+π6的值.2.(2015·西安调研)对于给定数列{a n },如果存在实常数p ,q ,使得a n +1=pa n +q 对于任意n ∈N *都成立,我们称数列{a n }是“M 类数列”.(1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n =3n ,求它对应的实常数p ,q 的值;(2)若数列{c n }满足c 1=-1,c n -c n +1=2n (n ∈N *),求数列{c n }的通项公式,判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由.3.如图,四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.4.某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a,b),(a,b-),(a,b),(a-,b),(a-,b-),(a,b),(a,b),(a,b-),(a-,b),(a,b-),(a-,b-),(a,b),(a,b-),(a-,b),(a,b)其中a,a-分别表示甲组研发成功和失败;b,b-分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.中档题满分练(三)1.已知向量a =(2sin x ,-cos x ),b =(3cos x ,2cos x ),f (x )=a·b +1.(1)求函数f (x )的最小正周期,并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,2π3时f (x )的取值范围;(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位,得到函数g (x )的图象,在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2=1,a =2,b +c =4,求△ABC 的面积.2.(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.3.(2015·浙江高考)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.4.(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,已知点(a n -1,a n )(n ∈N *,n ≥2)在函数y =3x 的图象上,且S 4=80.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)在a n 与a n +1之间插入n 个数,使这n +2个数组成公差为d n 的等差数列,设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n . ①求P n ;②若16P n +6n 3n ≤40027成立,求n 的最大正整数值.压轴题突破练1.(2015·四川高考)已知函数f (x )=-2x ln x +x 2-2ax +a 2,其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数,讨论g (x )的单调性;(2)证明:存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解.2.(2015·北京高考)已知椭圆C :x 2+3y 2=3,过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,直线AE 与直线x =3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率;(2)若AB 垂直于x 轴,求直线BM 的斜率;(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系,并说明理由.3.(2015·浙江高考)设函数f (x )=x 2+ax +b (a ,b ∈R ).(1)当b =a 24+1时,求函数f (x )在[-1,1]上的最小值g (a )的表达式;(2)已知函数f (x )在[-1,1]上存在零点,0≤b -2a ≤1,求b 的取值范围.4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,半焦距为c,B(0,1)为其上顶点,且a2,c2,b2依次成等差数列.(1)求椭圆的标准方程和离心率e;(2)P,Q为椭圆上的两个不同的动点,且k BP·k BQ=e2.(ⅰ)试证直线PQ过定点M,并求出M点坐标;(ⅱ)△PBQ是否可以为直角三角形?若是,请求出直线PQ的斜率;否则请说明理由.参考答案中档题满分练(一)1.解 在△ABC 中,由cos B =33,得sin B =63,因为A +B +C =π,所以sin C =sin(A +B )=69.因为sin C <sin B ,所以C <B ,可知C 为锐角.所以cos C =539.因此sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C =63×539+33×69=223.由a sin A =c sin C ,可得a =c sin A sin C =223c 69=23c , 又ac =23,所以c =1.2.解 (1)由题意,(a ,b ,c )所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a +b =c ”为事件A ,则事件A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P (A )=327=19.因此,“抽取的卡片上的数字满足a +b =c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”为事件B , 则事件B -包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种. 所以P (B )=1-P (B -)=1-327=89.因此,“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”的概率为89. 3.(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形, 所以AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC .因为AB ,AC 为平面ABC 内两条相交直线, 所以AA 1⊥平面ABC . 因为直线BC ⊂平面ABC , 所以AA 1⊥BC .又由已知,AC ⊥BC ,AA 1,AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线, 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ,连接A 1M ,MC ,A 1C ,AC 1,设O 为A 1C ,AC 1的交点.由已知可知,O 为AC 1的中点.连接MD ,OE ,则MD ,OE 分别为△ABC ,△ACC 1的中位线, 所以,MD 綉12AC ,OE 綉12AC , 因此MD 綉OE .连接OM ,从而四边形MDEO 为平行四边形, 则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ,MO ⊂平面A 1MC , 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点), 使直线DE ∥平面A 1MC .4.解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+45d =100,a 1d =2,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+9d =20,a 1d =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2或⎩⎨⎧a 1=9,d =29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n =2n -1,b n =2n -1或 ⎩⎨⎧a n =19(2n +79),b n =9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n -1.(2)由d >1,知a n =2n -1,b n =2n -1, 故c n =2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -32n -1+2n -12n .② ①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n +32n , 故T n =6-2n +32n -1.中档题满分练(二)1. 解 (1)f (x )=a sin 2ωx +3cos 2ωx =a 2+3sin(2ωx +φ)(其中cos φ=a a 2+3,sin φ=3a 2+3),由题意知:f (x )的最小正周期为π,由2π2ω=π,知ω=1,由f (x )最大值为2,故a 2+3=2,又a >0,∴a =1,则有cos φ=12,sin φ=32,取φ=π3.∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3,令2x +π3=k π+π2,得x =π12+k π2(k ∈Z ). 故f (x )的对称轴方程为x =π12+k π2(k ∈Z ).(2)由f (α)=43知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3=43,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π3=23,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α+π6=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫2α+π3-π2=-cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3=-1+2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α+π3=-1+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232=-19.2.解 (1) ∵b n =3n , 则b n +1=3n +3=b n +3,由“M 类数列”定义,得p =1,q =3. (2)∵c n -c n +1=2n (n ∈N *), ∴c n +1-c n =-2n (n ∈N *),则c 2-c 1=-2,c 3-c 2=-4,c 4-c 3=-8,… ∴c n -c n -1=-2n -1(n ≥2), 以上式子累加得c n =-(1+2+4+…+2n -1)=1-2n (n ≥2), 其中c 1=-1也满足上式. 因此c n =1-2n (n ∈N *),则c n +1=1-2n +1=2(1-2n )-1=2c n -1, {c n }是“M 类数列”.3.(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ,BC ⊂平面PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ,因此GH ∥EF .(2)解 连接AC ,BD 交于点O ,BD 交EF 于点K ,连接OP ,GK . 因为P A =PC ,O 是AC 的中点,所以PO ⊥AC ,同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC =O ,且AC ,BD 都在底面内, 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD , 且PO ⊄平面GEFH , 所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH =GK ,所以PO ∥GK ,且GK ⊥底面ABCD ,从而GK ⊥EF . 所以GK 是梯形GEFH 的高.由AB =8,EB =2得EB ∶AB =KB ∶DB =1∶4, 从而KB =14DB =12OB , 即K 为OB 的中点. 再由PO ∥GK 得GK =12PO , 即G 是PB 的中点,且GH =12BC =4.由已知可得OB =42,PO =PB 2-OB 2=68-32=6,所以GK =3.故四边形GEFH 的面积S =GH +EF 2·GK =4+82×3=18. 4.解 (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1, 其平均数为x -甲=1015=23;方差为s 2甲=115[(1-23)2×10+(0-23)2×5]=29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 其平均数为x -乙=915=35;方差为s 2乙=115[(1-35)2×9+(0-35)2×6]=625.因为x -甲>x -乙,s 2甲<s 2乙,所以甲组的研发水平优于乙组.(2)记E ={恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是 (a ,b -),(a -,b ),(a ,b -),(a -,b ),(a ,b -),(a ,b -),(a -,b ), 共7个,故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率,即得所求概率为P (E )=715.中档题满分练(三)1.解 (1)f (x )=a·b +1=23sin x cos x -2cos 2x +1=3sin 2x -cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6∴f (x )的最小正周期T =2π2=π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,2π3时,-π3≤2x -π6≤76π,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,1,因此f (x )的取值范围是[-3,2].(2)依题意,g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2=2cos 2x .由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2=1,得2cos A =1,∴cos A =12,∵0<A <π,∴A =π3,在△ABC 中,a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-3bc ∴4=42-3bc ,则bc =4,故S △ABC =12bc sin A =12×4·sin π3= 3.2.解 (1)因为(0.004+a +0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a =0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4.所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人),记为A 1,A 2,A 3;受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为B 1,B 2,从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2}.又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B 1,B 2},故所求的概率为p =110. 3.(1)证明 设E 为BC 的中点,连接AE ,A 1E ,由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE,因为AB=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)解作A1F⊥DE,垂足为F,连接BF.因为A1E⊥平面ABC,所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE,AE∩A1E=E,所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F,又DE∩BC=E,A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.由AB=AC=2,∠CAB=90°,得EA=EB= 2.由A1E⊥平面ABC,得A1A=A1B=4,A1E=14.由DE=BB1=4.DA1=EA=2,∠DA1E=90°,得A1F=7 2.所以sin ∠A1BF=7 8.4.解 (1)依题意,a n =3a n -1(n ∈N *,n ≥2), ∴数列{a n }为等比数列,且公比q =3. 又S 4=a 1(1-34)1-3=80,∴a 1=2.因此数列{a n }的通项公式a n =2·3n -1. (2)①由(1)知,a n +1=2·3n ,依题意,d n =2·3n -2·3n -1n +1=4·3n -1n +1,1d n =n +14·3n -1.∴P n =24×1+34×3+44×32+…+n +14×3n -1,(*)则13P n =24×3+34×32+…+n 4×3n -1+n +14·3n ,(**)(*)-(**),23P n =12+14⎝ ⎛⎭⎪⎫13+132+…+13n -1-n +14·3n =12+14·13⎝⎛⎭⎪⎫1-13n -11-13-n +14·3n =58-2n +58·3n .∴P n =1516-2n +516·3n -1.因此16P n +6n 3n =15-2n +53n -1+6n 3n =15-153n ,解不等式15-153n ≤40027,3n ≤81,则n ≤4.所以n 的最大正整数为4.压轴题突破练1.(1)解 由已知,函数f (x )的定义域为(0,+∞), g (x )=f ′(x )=2(x -1-ln x -a ), 所以g ′(x )=2-2x =2(x -1)x, 当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增. (2)证明 由f ′(x )=2(x -1-ln x -a )=0, 解得a =x -1-ln x ,令φ(x )=-2x ln x +x 2-2x (x -1-ln x )+(x -1-ln x )2 =(1+ln x )2-2x ln x ,则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0, 于是,存在x 0∈(1,e),使得φ(x 0)=0, 令a 0=x 0-1-ln x 0=u (x 0), 其中u (x )=x -1-ln x (x ≥1),由u ′(x )=1-1x ≥0知,函数u (x )在区间(1,+∞)上单调递增, 故0=u (1)<a 0=u (x 0)<u (e)=e -2<1, 即a 0∈(0,1),当a =a 0时,有f ′(x 0)=0,f (x 0)=φ(x 0)=0, 再由(1)知,f ′(x )在区间(1,+∞)上单调递增, 当x ∈(1,x 0)时,f ′(x )<0,从而f (x )>f (x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x )>0,从而f (x )>f (x 0)=0;又当x ∈(0,1]时,f (x )=(x -a 0)2-2x ln x >0,故x ∈(0,+∞)时,f (x )≥0,综上所述,存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解.2.解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23+y 2=1,所以a =3,b =1,c = 2.所以椭圆C 的离心率e =c a =63.(2)因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴,所以可设A (1,y 1),B (1, -y 1),直线AE 的方程为y -1=(1-y 1)(x -2),令x =3,得M (3,2-y 1),所以直线BM 的斜率k BM =2-y 1+y 13-1=1. (3)直线BM 与直线DE 平行,理由如下:当直线AB 的斜率不存在时,由(2)可知k BM =1.又因为直线DE 的斜率k DE =1-02-1=1,所以BM ∥DE , 当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y =k (x -1)(k ≠1),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则直线AE 的方程为y -1=y 1-1x 1-2(x -2). 令x =3,得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3,y 1+x 1-3x 1-2, 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+3y 2=3,y =k (x -1),得(1+3k 2)x 2-6k 2x +3k 2-3=0, 所以x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k 2, 直线BM 的斜率k BM =y 1+x 1-3x 1-2-y 23-x 2, 因为k BM -1=k (x 1-1)+x 1-3-k (x 2-1)(x 1-2)-(3-x 2)(x 1-2)(3-x 2)(x 1-2)=(k -1)[-x 1x 2+2(x 1+x 2)-3](3-x 2)(x 1-2)=(k -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-3k 2+31+3k 2+12k 21+3k 2-3(3-x 2)(x 1-2)=0,所以k BM =1=k DE .所以BM ∥DE ,综上可知,直线BM 与直线DE 平行.3.解 (1)当b =a 24+1时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +a 22+1, 故对称轴为直线x =-a 2.当a ≤-2时,g (a )=f (1)=a 24+a +2.当-2<a ≤2时,g (a )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2=1. 当a >2时,g (a )=f (-1)=a 24-a +2.综上,g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧a 24+a +2,a ≤-2,1,-2<a ≤2,a 24-a +2,a >2.(2)设s ,t 为方程f (x )=0的解,且-1≤t ≤1,则⎩⎪⎨⎪⎧s +t =-a ,st =b ,由于0≤b -2a ≤1,因此-2t t +2≤s ≤1-2t t +2(-1≤t ≤1). 当0≤t ≤1时,-2t 2t +2≤st ≤t -2t 2t +2, 由于-23≤-2t 2t +2≤0和-13≤t -2t 2t +2≤9-45, 所以-32≤b ≤9-4 5.当-1≤t <0时,t -2t 2t +2≤st ≤-2t 2t +2, 由于-2≤-2t 2t +2<0和-3≤t -2t 2t +2<0,所以-3≤b <0. 故b 的取值范围是[-3,9-45].4.解 (1)由题意知b =1,a 2+b 2=2c 2,又a 2=b 2+c 2,解之得a 2=3,c 2=2,椭圆的标准方程为x 23+y 2=1,离心率e =23=63. (2)(ⅰ)设直线PQ 的方程为x =my +n ,且P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧x =my +n ,x 2+3y 2=3,得(3+m 2)y 2+2mny +n 2-3=0. Δ=(2mn )2-4(3+m 2)×(n 2-3)=12(m 2-n 2+3)>0(*)⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=-2mn 3+m 2,y 1y 2=n 2-33+m 2.∵k BM ·k MN =y 1-1x 1·y 2-1x 2=e 2=23, ∴3(y 1-1)(y 2-1)=2x 1x 2=2(my 1+n )(my 2+n ),∴(2m 2-3)y 1y 2+(2mn +3)(y 1+y 2)+2n 2-3=0,∴(2m 2-3)n 2-33+m 2+(2mn +3)-2mn 3+m2+2n 2-3=0, 整理得n 2-2mn -3m 2=0,∴(n -3m )(n +m )=0,∴n =-m 或n =3m .所以直线PQ 的方程为x =my -m =m (y -1)(舍)或x =my +3m =m (y +3),所以直线PQ 过定点,定点M 的坐标为(0,-3).(ⅱ)由题意,∠PBQ ≠90°,若∠BPM =90°,或∠BQM =90°,则P 或Q 在以BM 为直径的圆T 上,即在圆x 2+(y +1)2=4上,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2+(y +1)2=4,x 2+3y 2=3.解之得y =0,或y =1(舍去).因此P 或Q 只能是椭圆的左右顶点.又直线PQ 过定点M (0,-3),∴k PQ =-3-00±3=±3. 故△PBQ 可以是直角三角形,此时直线PQ 的斜率为±3.。

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