1、 如图所示为一椭圆形轨道，其方程为()222210x y a b a b+=>>，在中心处有一圆形区域，圆心在O 点，半径为()r b <，圆形区域中有一均匀磁场1B ，方向垂直纸面向里，1B 以1B t k ∆∆=的速率增大，在圆外区域中另有一匀强磁场2B ，方向与1B 相同，在初始时，A 点有一带正电q 的质量为m 的粒子，粒子只能在轨道上运动，把粒子由静止释放，若要其通过C 点时对轨道无作用力，求2B 的大小。

解：由于r b a <<，故轨道上距O 为R 的某处，涡旋电场强度为22122B r kr E R t R∆==∆方向垂直于R 且沿逆时针方向，故q 逆时针运动。

q 相对O 转过θ∆角时，1B 对其做功为22kr W F x Eq x q R Rθ∆=∆=∆=∆而2B 产生的洛伦兹力及轨道支持力不做功，故q 对O 转过θ角后，其动能为22122k kr Emv W q θ==∆=∑q 的速度大小为v =q 过C 时，()320,1,2,2n n θππ=+=C 处轨道不受力的条件为22mv qvB ρ=其中ρ为C 处的曲率半径，可以证明：2a b ρ=（证明略）将v 和θ的表达式代入上式可得)20,1,2,B n ==2、 两根长度相等，材料相同，电阻分别为R 和2R 的细导线，两者相接而围成一半径为a 的圆环，P Q 、为其两个接点，如图所示，在圆环所围成的区域内，存在垂直于图面、指向纸内的匀强磁场，磁感应强度的大小随时间增大的变化率为恒定值b 。

已知圆环中感应电动势是均匀分布的，设M N 、为圆环上的两点，M N 、间的圆弧为半圆弧的一半，试求这两点间的电压()M N U U -。

解：根据法拉第定律，整个圆环中的感应电动势的大小2E r b tπ∆Φ==∆ （1） 按楞次定律判断其电流方向是逆时针的，电流大小为 23E EI R R R==+ （2） 按题意，E 被均匀分布在整个圆环上，即MN 的电动势为4E ，NQPM 的电动势为34E ，现考虑NQPM ，在这段电路上由于欧姆电阻所产生电势降落为()22I R R +，故3242M N R U U E R I ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ （3） 由（1）、（2）、（3）式可得2112M N U U r b π-=-（4） 当然，也可采用另一条路径（MTN 圆弧）求电势差()211424321212N M M N E R E E R U U I E r b U U R π-=-=-===-- 与（4）式相符。

3、 如图所示，在边长为a 的等边三角形区域内有匀强磁场B ，其方向垂直纸面向外。

一个边长也为a 的等边三角形导轨框架ABC ，在0t =时恰好与上述磁场区域的边界重合，而后以周期T 绕其中心在纸面内顺时针方向匀速转动，于是在框架ABC中产生感应电流，规Q定电流按ABCA 方向流动时电流方向取正值，反向流动时取负值。

设框架ABC 的电阻为R ，试求从0t =到16Tt =时间内的平均电流强度1I 和从0t =到22Tt =时间内平均电流强度2I 。

解：从0t =到16Tt =时间内，导体框架从图中虚线位置转到实线位置，经历时间6Tt ∆=。

这段时间内的磁通量变化212112a B ∆Φ=Φ-Φ=-故这段时间内的平均电动势为11t ε∆Φ=-=∆由楞次定律可知，感应电流方向为A B C A →→→，电流的平均值为11I R ε==从0t =到22Tt =，三角形导体框架仍在图中实线位置，磁通量变化为'2221B ∆Φ=Φ-Φ= 平均电动势为2226B t Tε∆Φ=-=∆这段时间内的平均电流为2226B I R RTε==4、 一个半径为r 的非常小的导体圆环与一个半径为()R Rr的很大导体圆环中心相距BACR ，开始时两环平面彼此平行并分别与中心连线垂直，如图所示，保持不变的电流I 通过固定在空间的大环，小环以角速度ω围绕着一条直径匀速转动。

小环的电阻为ρ，小环的自感可以忽略不计。

求：1）小环中的电流强度；2）须用多大力矩施与小环，才能保持它匀速转动；3）小环中的感应电动势。

解：由于Rr ，故大环产生的磁场在小环附近可视为匀强磁场，且方向与二环中心连线'OO 平行。

在大环上取一小段l ∆，由比奥萨伐尔定律可知，这一小段在小环处沿'OO 方向的磁场贡献为()00222242162I I lB l RRμμππ∆∆==∆ 故整个大环在小环处产生沿'OO 方向的磁场大小为00222168IIB B R R Rππ=∆==∑ 小环的磁通量为220cos cos 8r IBS B r t t RπωωΦ===小线圈之间的互感系数为M t I ωΦ==小1） 小环中的互感电动势为()()202020cos 8cos cos 8sin 8t r I t R t tt t r I R t r I tRωεωωωω∆∆Φ==∆∆+∆-⎡⎤⎣⎦=∆=-小小 故小环中的电流为20sin 8r I I t R εωωρρ==-小小2） 在大环的匀强磁场中，小环受的磁力矩为sin m BIS t ω=代入B I 、和S 的值，得2242202sin 32r I m t R μπωωρ=-3） 小环对大环处的磁通量为22402sin 264r I MI t R μπωωρΦ==-大小 故大环中感应电动势为()22422420022sin 2cos 26432t r I r I t t R t R ωμπωμπεωωρρ∆∆Φ==-=-∆∆大大5、 两个半径为R 的相同的金属圆环，沿着通过两环圆心的直线在同一平面上相向运动，如图（a ）所示，磁感强度为B 的均匀磁场垂直于两个环面。

求当两圆弧平动速度均为v ，且角3απ=时刻，磁场对两个圆环作用力的方向和大小。

两环的接触点a 和b 有良好的电接触。

长度等于圆环周长的金属丝的电阻为r 、环的电感不计。

解：接触点a 和b 将两圆环各分为大、小两段圆弧。

当两圆环相向平动时，各圆环切割磁感线，产生的感应电动势分别为1E 和'1E 、2E 和'2E ，它们分别与弦ab 向右或向左平动时产生的感应电动势E 等效，有2sin 2ab E Bl v BvR α⎛⎫== ⎪⎝⎭其等效电路如图（b ）所示。

对于回路12aE bE ，总电动势122E E E E =+=总，总电阻()222r r παπ-=总，回路中电流等于图（a ）2E 图（b ）()4sin 22BvR E I r r αππα⎛⎫⎪⎝⎭==-总总 对于回路''21aE bE ，回路中电流等于'4sin 2BvR I r απα⎛⎫ ⎪⎝⎭=在圆弧上取对称微元，分别求得各微元所受的安培力后再累加易得大、小圆弧所受的安培力分别为1''1ab ab F Bl I F Bl I==力1F 和'1F 的方向皆与环的速度方向相反，故左圆环所受的磁场力F 的方向与环的速度方向相反，其大小等于()()''11224sin 4sin 222sin 22365ab F F F Bl I I Bv Bv B R r r B R v rααππαπαα=+=+⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎪-⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦=右圆环所受磁场力大小与左环所受磁场力大小相等，但方向与右环的速度方向相反。

6、 如图所示，两根很长的光滑金属平行导轨相距L ，它们所在的平面与水平面成α角，导轨的两端分别与电源、电容器和开关S 相连。

一质量为m ，不计电阻的金属棒ab 横跨在导轨上，整个空间充满磁感强度为B 的竖直向上的匀强磁场。

已知电源的电动势为E 、内阻为R ，电容器的电容为C ，不计导轨电阻，问： 1） S 接通1时，ab 的稳定速度是多少？2） ab 达到稳定速度时，S 投向2，ab 再下滑距离s ，这过程中电容器储存的电能是多少？解：1）开关S 接1时，ab 棒中的电流为cos E vBL I Rα-= （1）棒沿斜面方向的运动方程为()sin cos cos sin cos ma mg BIL BL E vBL mg Rααααα=+-=+（2） 令（2）式中0α=，得ab 的稳定速度222sin cos cos mgR BLE v B L ααα+=（3） 2）将开关S 投向2后，电容器被充电，充电电流为()'''cos cos C v BL Q C E v I CBL t t t tαα∆∆∆∆====∆∆∆∆ （4） 设棒ab 沿斜面方向的加速度为'a ，那么棒的运动方程为''sin cos ma mg BI L αα=- （5）将（4）式代入（5）式求得'222sin cos mg a m CB L αα=+ （6） 设棒ab 下滑s 后，电容器储存的能量为C W ，由能量守恒定律得()'221sin 2C mgs m v v W α=-+ （7） 因为'22'2v v a s -= （8）由（6）、（7）、（8）三式解得222222sin cos cos C mgsCB L W m CB L ααα=+7、 如图所示，有一个由匀质细导线弯成的半径为a 的圆线圈和三条弦,,AB BC CD 的电阻丝组成的电路，三条弦长满足AB BC CD ===，电路上各段电阻值示于图（a ）中。

在圆平面内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B 随时间t 均匀减小，其变化率的大小为一已知常量k 。

已知1222r r r ==。

试求图（a ）中,A C 两点间的电势差A C U U -。

解：在各段电路上，感应电流的大小和方向如图（b ）所示。

电流的分布已考虑到电路的对称性。

根据法拉第电磁感应定律和闭合回路的欧姆定律，对半径为a 的圆电路有方程21112142a k r I r I r I π=++ （1）对弦AB 和弧AB 构成的回路有方程2212251142a a k r I r I π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（2） 对弦BC 和弧BC 构成的回路有方程22142311242a a k r I r I π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（3） 以及对于节点A 和节点B 的节点方程125I I I =+ （4）3425I I I I +=+ （5）利用式（4）和（5）得512413,I I I I I I =-=-代入前三式得21112131232222a k r I r I r I rI rI rI π=+-=+- （6）图（a ）1r r 1图（b ）4()222112212112342a a k r I r r I rI rI π⎛⎫-=-++=-+ ⎪⎝⎭（7） ()221112313112542a a k r I r r I rI rI π⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭（8） 其中已利用12,2r r r r ==。