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晶胞空间利用率的计算
晶胞的空间利用率就是晶胞上占有的金属原子的体积与晶胞体积之比。晶体空间利用率的计
算晶体中原子空间利用率的计算，实质是考查同学们的空间想象能力和几何计算能力。此类题目
要运用数形结合的分析方法，一般要先画出晶体的侧面图，再用勾股定理计算，步骤如下
（1）确定每个晶胞中含有的原子个数。
（2）根据晶体的侧面图找出原子半径r与晶胞边长a的关系。
（3）计算：晶胞的空间利用率=V原子/V晶胞=晶胞中含有的原子的体积/晶胞体积。
下面就金属晶体的四种堆积方式计算晶胞的空间利用率。
1.简单立方堆积：

在简单立方堆积的晶胞中，晶胞边长a等于金属原子半径r的2倍，晶胞的体积V晶胞=(2r)3。
晶胞上占有1个金属原子，金属原子的体积V原子=4πr3/3。
简单立方堆积晶胞的空间利用率V原子/V晶胞=4πr3/(3×(2r)3)= π/6=52.33%。
2.体心立方堆积：

在体心立方堆积的晶胞中，体对角线上的三个原子相切，体对角线长度等于原子半径的4倍。
假定晶胞边长为a，则a2 + 2a2=(4r)2，晶胞体积V晶胞=a3。体心堆积的晶胞上占有的原子个数为2，
原子占有的体积为V原子=2×(4πr3/3)。

体心立方堆积晶胞的空间利用率等于V原子/V晶胞=2×4πr3/(3×a3)=π/8=67.98%。
3.面心立方最密堆积：

在面心立方最密堆积的晶胞中，面对角线长度是原子半径的4倍。假定晶胞边长为a，
则a2 + a2=(4r)2，晶胞体积V晶胞=a3。面心立方堆积的晶胞上占有的原子数为4，原子占有的体积为
V原子=4×(4πr3/3)。

面心立方堆积晶胞的空间利用率等于V原子/V晶胞=4×4πr3/(3×a3)=πr/6=74.02%。
4.六方最密堆积：

六方最密堆积的晶胞不再是立方结构。晶胞上、下两个底面为紧密堆积的四个原子中心连成
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的菱形，边长a=2r，夹角分别为60°、120°，底面积s=2r×2r×sin60°。晶胞的高h的计算是关键，
也是晶胞结构中最难理解的。在晶胞的上、下两层紧密堆积的四个原子中，各有两个凹穴，
中间层的原子在上、下两层正对的凹穴中。中间层的原子和上层形成凹穴的三个原子构成
一个正四面体；和下层对应的三个原子也构成一个正四面体，这两个正四面体的高之和就

是晶胞的高。正四面体的边长为2r，正四面体的高h1=2r/3。晶胞的高为h=2h1=4r/3，
晶胞的体积V晶胞=2r×2r×sin60°×4r/3= 8r3 。六方最密堆积的晶胞上占有2个原子，原子的体
积V原子=2×(4πr3/3)。

六方最密堆积晶胞的空间利用率为V原子/V晶胞=(2×4πr3)/(3×8r3)=πr/6=74.02%。
总结：金属晶体四种堆积方式下的空间利用率的计算
堆积方式 晶胞上含有的金属原子个数 晶胞边长a与原子半径r的大小关系 空间利用率

简单立方堆积
1 a=2r 52.33%

体心立方堆积
2 a2 + 2a2=(4r)2 67.98%

面心立方最密堆积
4 a2 + a2=(4r)2 74.02%

六方最密堆积
// // 74.02%