简单的极端原理
1 钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等
于零，则至少要添n个负号，这个数n是（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
2、
学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000
张选票的结果是：甲350张，乙370张，丙280张，则甲在剩下的500张选票中至少再得
票，才能保证以得票最多当选该校的学生会主席．
3 已知a、b、c为实数．证明：（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b
）2这四个代数
式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值，也至少有一个不大于a2+b2+c2的值．
4
如果a，b，c是正实数且满足abc=1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（ ）
A、64 B、8 2 C、8 D、 2
5
如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形
面积的是（ ）
A、13 B、14 C、15 D、16
6.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，
…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，
…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b
(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，
B2(3，2)，则Bn的坐标是_________．
7（2005•烟台）（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方
形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．
（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已
知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这
条小路一共占地多少平方
米．
y
x
O C1 B2 A2 C3 B1 A3 B3 A1 C
8 已知，如图，等边三角形ABC中，AB=4，点P为AB边上的任意一点（点P可以与点A
重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，
过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．
（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．
9（2001•苏州）如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，
设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系
是（ ）
A、k甲＞k乙 B、k甲=k乙 C、k甲＜k乙 D、不能确定
10 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- x + 3 交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB
的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C顺时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC1∥OC，交
AB与点C1，然后过C1点继续作直线D1C1∥OC，交x轴于点D1，并不断重复以上步骤，记△OCD的面
积为S1，△DC1D1的面积为S2，依次类推，后面的三角形面积分别是S3，S4…，那么S1= ，若
S=S1+S2+S3+…+Sn，当n无限大时，S的值无限接近于
．
11 如图，正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），连接AE，取线段AE的中点M．
证明：FM⊥MD，且FM=MD．
3
假设（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2都小于a2+b2+c2，得出假设不成立，再假设（a+b+c）
2（a+b-c）2（b+c-a）2（c+a-b）2都大于a2+b2+c2
，得出命题不成立，即可得出答案．
解答：解：如果（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2都小于a2+b2+c2，
则 （a+b+c）2+（a+b-c）2+（b+c-a）2+（c+a-b）2＜4（a2+b2+c2），
∴（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）+（a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc）+（b2+c2+a2+2bc-2ac-2ab）+
（c2+a2+b2+2ac-2bc-2ab）＜4（a2+b2+c2），
整理得：0＜0，明显不成立． 故这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值；
同理，如果（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2都大于a2+b2+c2，
可得0＞0 也不成立，
故（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值，
也至少有一个不大于a2+b2+c2的值，命题得证．
7：（1）△ABC与△AEG面积相等．
理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则
∠AMC=∠ANG=90°，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∵∠EAG+∠GAN=180°，
∴∠BAC=∠GAN，
∴△ACM≌△AGN，
∴CM=GN，
∵S△ABC= 1/2AB•CM，S△AEG=
1/2
AE•GN，
∴S△ABC=S△AEG，
（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．
∴这条小路的面积为（a+2b）平方米．
8 证明：（1）PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，
∠A=∠B=∠C=60°，设BP=x，
∴BE= x/2，EC=4- x/2，CF=2- x/4，
AF=4-2+ x/4=2+ x/4，
∵△BEP∽△AQF，
∴ AFBP=AQBE，
∴AQ=1+ x/8，
∴y=1+ x/8（0＜x≤4）；
（2）当x+y=4，x+1+ x/8=4，
∴ 9/8 x =3，
∴x= 8/3．
故BP为 8/3时，P与Q重合．
解答：
证明：如图，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN
∴DM=NM，AD=EN．
∵ABCD和CGEF是正方形，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，
∠5=∠6=90°-∠NEG=∠NEF，DC=AD=NE．
又∵∠H=90°，
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NEF．
∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°，即△DFN为等腰直角三角形．
又DM=MN，∴FM⊥MD，MF=MD．
点评：本题考查了正方形各边相等且各内角为直角的性质，考查了全等三角形的判定和对应边、对应角相
等的性质，本题中求证△DCF≌△NEF是解题的关键．