A PCDB初二数学经典题型练习1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．证明如下。
首先，PA=PD ，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。
在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD ，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中，∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB ， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°，PB=PQ=AB=BC ，∠PBC=90°-30°=60°，所以△PBC 是正三角形。
2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM.又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ， 在梯形MEFN 中，WE 平行NF 因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底F所以PQ 为梯形MEFN 中位线， 所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2又因为，角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF CB=BF所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2.4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接BE因为DP2a3a 个圆柱形容器的容积为V 立方米，根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x ，则大水管进水速度为4x 。
由题意得：t x v x v =+82 解之得：t vx 85=经检验得：tvx 85=是原方程解。
∴小口径水管速度为t v 85，大口径水管速度为tv25。
7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．解：（1）设正比例函数解析式为y kx =，将点M （2-，1-）坐标代入得12k =，所以正比例函数解析式为12y x =同样可得，反比例函数解析式为2y x= （2）当点Q 在直线DO 上运动时， 设点Q 的坐标为1()2Q m m ，， 于是211112224OBQ S OB BQ m m m △=?创=， 而1(1)(2)12OAP S △=-?=， 所以有，2114m =，解得2m =± 所以点Q 的坐标为1(21)Q ，和2(21)Q ，-- （3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n，， 由勾股定理可得222242()4OQ n n n n=+=-+， 所以当22()0n n-=即20n n -=时，2OQ 有最小值4，又因为OQ 为正值，所以OQ 与2OQ 同时取得最小值，图图所以OQ有最小值2．由勾股定理得OPOPCQ周长的最小值是8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x, △PBE的面积为y.①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解：（1）证法一：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.∵ PC=PC，∴△PBC≌△PDC（SAS）.∴PB= PD，∠PBC=∠PDC.又∵PB= PE ，∴PE=PD.②（i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，∵ PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∴∠PEB=∠PDC，∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴PE⊥PD. ）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.AB CDPE12H∵ ∠PEC =∠PDC ，∠1=∠2， ∴ ∠DPE =∠DCE =90°， ∴ PE ⊥PD .综合（i ）（ii ）（iii ）, PE ⊥PD .（2）① 过点P 作PF ⊥BC ，垂足为F ，则BF =FE . ∵ AP =x ，AC =2， ∴ PC =2- x ，PF =FC =x x 221)2(22-=-. BF =FE =1-FC =1-(x 221-)=x 22. ∴ S △PBE =BF ·PF =x 22(x 221-)x x 22212+-=. 即 x x y 22212+-= (0＜x ＜2).② 41)22(21222122+--=+-=x x x y .∵ 21-=a ＜0，∴ 当22=x 时，y 最大值41=.（1）证法二：① 过点P 作GF ∥AB ，分别交AD 、BC 于G 、F . 如图所示. ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ 四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形，△AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形.∴ GD=FC =FP ，GP=AG =BF ，∠PGD =∠PFE =90°. 又∵ PB =PE ，∴ BF =FE ， ∴ GP =FE ，∴ △EFP ≌△PGD （SAS ）. ∴ PE =PD . ② ∴ ∠1=∠2.AB CPDEF ABCPDEF G123∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE =90°.∴ PE ⊥PD . （2）①∵ AP =x ， ∴ BF =PG =x 22，PF =1-x 22.∴ S △PBE =BF ·PF =x 22(x 221-)x x 22212+-=. 即 x x y 22212+-= (0＜x ＜2).② 41)22(21222122+--=+-=x x x y .∵ 21-=a ＜0，∴ 当22=x 时，y 最大值41=.9、如图，直线y=k 1x+b 与反比例函数 y=k2x 的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点． （1）求k 1、k 2的值．（2）直接写出 k1x+b-k2x ＞0时x 的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．10、如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．图12。