热力学与统计物理总复习一、填空题1、理想气体满足的条件：①()C PV =温度不变时，玻意耳定律 ②()T P ∝理想气体温标的定义律焦耳定()Vn ∝体的物质的量相等，即，相等体积所含各种气在相同的温度和压强下阿伏伽德罗定律③2、能量均分定理： 对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于kT 21，即：kTax i 212=。

广义能量均分定理：kT x x ij j i δε=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂。

3、吉布斯相律：。

是相的数量是组元数量，其中ϕϕk k f -+=2 4、相空间是 2Nr 维空间，研究的是：一个系统里的N 个粒子 ；μ空间是 2r 维空间，研究的是： 1个粒子 。

二、简答题1、特性函数的定义。

答：适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。

这个热力学函数即称为特性函数。

2、相空间的概念。

答：为了形象地描述粒子的力学运动状态，用r r p p q q ,,;,,11⋯⋯共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。

根据经典力学，系统在任一时刻的微观运动状态由f 个广义坐标f q q q ,,,21⋯及与其共轭的f 个广义动量f p p p ,,,21⋯在该时刻的数值确定。

以f f p p q q ,,;,,11⋯⋯共f 2个变量为直角坐标构成一个f 2维空间，称为相空间或Γ空间。

3、写出热力学三大定律的表达和公式，分别引出了什么概念？答：热力学第零定律：如果物体A 和物体B 各自与处在同一状态的物体C 达到热平衡，若令A 与B进行热接触，它们也将处在热平衡，这个经验事实称为热平衡定律。

即),(),(B B B A A A V P g V P g =，并引出了“温度T ”这概念。

热力学第一定律：自然界一切物质都具有能量，能量有各种不同形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量不变。

即W d Q d dU +=，并引出了“内能U ”的概念。

热力学第二定律：克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。

开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。

即TQd dS ≥，其中取”“=代表可逆过程，取”“>代表不可逆过程，该定律引出了“熵S ”的概念。

4、热力学第三定律的表达和公式。

答：能斯特定理：凝聚系的熵在等温过程中的改变随热力学温度趋于零，即0)(lim 0=∆→T T S 。

绝对零度（T=0）不能达到原理：不可能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。

这两种表述即为热力学第三定律。

5、卡诺循环的四个过程答：①等温膨胀过程：气体与温度为1T 的高温热源保持热接触，从状态Ⅰ),,(111T V P 等温膨胀而达状态Ⅱ),,(122T V P 。

在这过程中气体吸收的热量1Q 为：1211lnV V RT Q =。

②绝热膨胀过程：气体由状态Ⅱ),,(222T V P 绝热膨胀而达状态Ⅲ),,(233T V P 。

在这过程中气体吸收的热量为零。

③等温压缩过程：气体与温度为2T 的低温热源保持热接触，从状态Ⅲ),,(233T V P 等温压缩而达状态Ⅳ),,(244T V P 。

在这过程中气体放出的热量2Q 为：4322lnV V RT Q =。

④绝热压缩过程：气体由状态Ⅳ),,(244T V P 绝热压缩而回到状态Ⅰ),,(111T V P 。

在这过程中气体吸收的热量为零。

整个循环过程完成后，内能变化为零，所做净功W 为21Q Q -，则热功转化效率为：12431212121ln )ln (11V V V V T T Q Q Q Q Q ⋅-=-=-=η，由于C TV =-1γ得4312V VV V =，所以121T T -=η。

6、特性函数全微分形式内能 PdV TdS dU -= 焓 VdP TdS dH +=自由能 PdV SdT dF --= 吉布斯自由能 VdP SdT dG +-=7、麦克斯韦关系式答：偏导数关系，即麦克斯韦关系：V S S P V T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ P S S V P T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ V T T P V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ PT T V P S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂8、等概率原理答：对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。

9、系综理论的概念答：在一定的宏观条件下，大量性质和结构完全相同的、处于各种运动状态的、各自独立的系统的集合。

10、系综的分类答：系综分为：微正则系综、正则系综和巨正则系综。

微正则系综：由能量E 、粒子数N 和体积V 确定的孤立系统的集合。

正则系综： 由温度T 、粒子数N 和体积V 确定的封闭系统的集合。

巨正则系综：由温度T 、化学势μ和体积V 确定的开放系统的集合。

四、证明题1、推导出爱因斯坦热容公式，并说出其物理意义和历史意义。

解：固体中原子的热运动可以看成3N 个振子的振动。

爱因斯坦把3N 个振子的振动频率ω看作相等振子的能级为)21(+=n n ωε ，配分函数ωβωβωββε --∞=+-∞=--===∑∑ee ee Z n n n l12)21(01 则固体内能：1323ln 31-+=∂∂-=ωβωωβ e N N Z NU所以：22)1(3-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=kTkTV ee kT Nk T U C ωωω令ωθ =E k ， 则爱因斯坦热容公式：22)1(3-⎪⎭⎫⎝⎛=T T E V EEe e T Nk C θθθ其物理意义是：当E T θ>>时，可以近似取Te ET Eθθ≈-1，则Nk C V 3=，其结果和能量均分定理的结果相同。

这个结果的解释是，当E T θ>>时，能级间距远小于kT ,能量量子化的效应可以忽略，因此经典统计是适用的。

当E T θ<<时，TT EEe e θθ≈-1 ，则得T E V EeT Nk C θθ-⎪⎭⎫ ⎝⎛=23 ，温度趋于零时，振子能级间距ω 远大于kT ，振子由于热运动取得的能量ω 而跃迁到激发态的概率是极小的，因此几乎全部振子都冻结在基态。

当温度升高时，他们几乎不吸收能量，因此对热容没有贡献。

其历史意义是推动力量子力学的发展2、推导出玻尔兹曼统计分布公式。

解：)1(ln !ln !!-==∏∏m m m a N la ll l l，且微观状态数Ωω ， 则∑∑∑∑+-=+-=llllllllllla a a N N a a N ωωln ln ln ln !ln !ln ln Ω{}0ln ln 0ln ln =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==∑l l l ll a a a δωδδΩ，则Ω，必使Ω为极大的分布要使 又由于00,====∑∑ll l ll l a E a N a δεδδδδ，不完全独立则0ln ln =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--∑l l l l la a E N δβεαωδβδαδΩ 则得0ln 3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=l l l lla a δβεαω，0ln 1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a δβεαω， 0ln 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a δβεαω 所以⋯⋯==++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,3,2,10ln l a l l l ，βεαω，即得：l e a l l βεαω--=3、光子的化学势0=μ，用光子玻色子气体的统计分布：1-=l e a ll βεω，推导出普朗克公式。

解：光子的自旋量子数为1，则光子有两个自旋投影。

光子在dp p p +→的动量范围内，光子的量子态数为：dp p hV dp p h V l 2323842ππω=⨯= 由于光子的能量：pc ==ωε ，则得ch c p πωω2==则在ωωωd +→的圆频率范围内，光子的量子态数为：ωωπωd cVl 232=于是得：⎰∑⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-===ωωπωεωωωd c V e a d T U U kT ll l 2321),( 所以ωωπωωπωωωωωd e c V d c V e d T U kT kT 11),(332232-=⋅-=五、计算题1.8 满足（常量）C pV n =的过程称为多方过程，其中常数n 称为多方指数。

试证明：理想气体在多方过程中的热容n C 为V n C n n C 1--=γ 解：nV n n n T n T V p C T V p T U T Q C ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=→∆0lim 由于RT PV C pV n ν==，，消去压强P 可得：（常量）11C TV n =-，对此式进行微分得：0)1(21=-+--TdV V n dT V n n ，所以T n V T V n)1(--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂， 且由于γν==-VP V P C CR C C ，，则得R C V νγ=-)1(则得V V V V n C n n n C n R C n T PV C C 11111)1(--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--=--=γγν ★1.11 大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中不同高度之间的空气不断发生对流。

由于气压随高度而降低，空气上升是膨胀，下降时收缩。

空气的热导率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。

试计算大气温度随高度的变化率dz dT，并给出数值结果。

【提示：根据流体静力学可导出气压随高度的变化率g z dz z dp )()(ρ-=，而再利用理想气体的绝热方程求出)()(1z p z T dp dT Sγγ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，从而可以求出dzz dT )(。

R Mgdz z dT γγ)1()(--=，数值结果：110-⋅-km K 】解：由于dz g z z P dz z P )()()(ρ=-+，则在z 处的压强：dz g z dz z P z P )()()(ρ++= 而dzz P dzdz P dz z P )()()(+=+，代入上式得g z dz z P dz d )()(ρ-= 以M 表示大气的平均摩尔质量，则在高度为z 处，大气的摩尔体积为)(z Mρ 则物态方程：)()()(z RT z Mz P =⋅ρ，所以)()()(z P z RT Mg dz z P dz d -= （附加：由上式得：RT Mgz e P z P C RTMgzz P dz RT Mg z P z dP -=→+-=→-=0)()(ln )()(） 又由于C TP C pV RTPV =−−→−=-=γγγ1，则得P TP T sγγ1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 然而)()(z P dzdP T z T dz d S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=，则得R Mg z T dz d γγ1)(--= 有题意：11310)(8.9102941.1---⋅-=⋅=⋅⨯==km K z T dzds m g mol kg M ，代入得，，γ1.13 由于⎰-=TdTT F )1()(ln γ，绝热过程中，当γ为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为121T T -=η。