第二章小结
对于n 元线性方程组b A =x (*),其中A 为非奇异矩阵,当0det ≠A 时,方程组有唯一的解向量。
求解线性方程组的方法可分为两类：直接法（如克莱姆法则，高斯消去法等）和迭代法（Jacobi 迭代法和GS 迭代法等）。
一 、直接法
1、Gauss 消去法:(1) 顺序Gauss 消去法:将矩阵化为上三角矩阵
(2) 列主元素Gauss 消去法:将增广矩阵],[)()(k k b A 中绝对值最大的元素交换到底k 行的主对角线上。
比较：顺序Gauss 消去法的计算结果数值稳定性没有列主元素Gauss 消去法的好。
2、直接三角分解法：
(1)定义 Doolittle 分解法和Crout 分解法:如果方程组b A =x 的系数矩阵A 可以分解为A=LU,其中L 是下三角矩阵U 是上三角矩阵,这样方程组b A =x 就化为两个容易求解的三角方程组:y U b Ly ==x ,。
定理3 Doolittle 分解法的充要条件是矩阵A 的前n-1阶顺序主子式0≠K D (k 取1,2,3,4...,n-1)
推论 矩阵A 有唯一Crout 分解的充要条件是A 的前n-1阶顺序主子式0≠K D (k 取1,2,3,4...,n-1)
Doolittle 分解计算公式为:
对于k=1,2,3...,n
),...,1,(1
1n k k j u l a u k t tj kt kj kj +=-=∑-=
);,...,2,1(/)(1
1n k n k k i u u l a l kk k t tk it kj ik <++=-=∑-=
则求解下三角方程组y U b Ly ==x 和上三角方程组的计算方程式: ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧--=-===-==∑∑+=-=1
,,2,1,/)(u /),,3,2(11111 n n i u x u y x y x n i y l b y b y ii n i t t it i i nn
n n t i t it i i Crout 分解计算公式为:
对于k=1,2,3...,n
),...,1,(1
1n k k j u l a l k t tk it ik ik +=-=∑-=
);,...,2,1(/)(1
1n k n k k j l u l a u kk k t tj kt kj kj <++=-=∑-=
则求解下三角方程组y b y U L ==x ~
~和上三角方程组的计算方程式: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-===-==∑∑+=-=1
,,2,1,),,3,2()(/1111111 n n i x u y x y x n i l y l b y l b y n i t t it i i n n
ii t i t it i i (2)选主元的Doolittle 分解法
优点:对A 的要求低,只要矩阵A 可逆即可,即只要矩阵A 非奇异便可通过对A 做适当变换就可以了.
二、迭代法
1、思想：通过构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组b A =x 的解向量，通过求迭代矩阵，再通过迭代公式使解向量逐步逼近精确解。
所以迭代法的缺点也很明显，凡是迭代法都存在收敛性与
精度控制的问题。
2、迭代法的一般形式
把系数矩阵分为两个矩阵即P N A -=,
递推公式为:
),2,1,0(,)()1( =+=+k d X G X k k 谱半径：ρ（G ）=//max 1i n
i λ≤≤为迭代矩阵G 的谱半径 定理 对任意矩阵n R d ∈,上述迭代法收敛的充要条件是谱半径
小于1。
矩阵收敛的充分条件：迭代矩阵的某种范数小于1。
（1） Jacobi 迭代法
迭代矩阵:
)(1U L D G J +-=- 迭代公式:
b D x U L D x k k 1)(1)1()(--+++-= Jacobi 迭代法收敛的充要条件:迭代矩阵的谱半径小于1
Jacobi 迭代法收敛的充分条件:矩阵A 是对角线按行或列严格占优势(则A 也是非奇异矩阵)。
Jacobi 迭代法收敛的充分条件:迭代矩阵的某种范数小于1。
（2）GS 迭代法
迭代矩阵:U D L G G 1)(-+-=
迭代公式:
b L D Ux D L x k k 1)(1)1()()(--++++-= GS 迭代法收敛的充要条件:迭代矩阵的谱半径小于1
GS 迭代法收敛的充分条件:矩阵A 是对角线按行或列严格占优势(则A 也是非奇异矩阵)。
GS 迭代法收敛的充分条件：迭代矩阵的某种范数小于1。
（3）SOR 迭代法
迭代矩阵:])11([)1(1D w U D w L G S -++
-=- 迭代公式:)])11[()1(1)1(U D w
D w L x k +-+-=-+ SOR 迭代法收敛的充要条件:迭代矩阵的谱半径小于1
SOR 迭代法收敛的充分条件:矩阵A 是对角线按行或列严格占优势,则用10≤<w 的SOR 方法求解必收敛。
SOR 迭代法收敛的充分条件：如果系数矩阵A 是正定矩阵，则用20<<w 的方法求解必收敛。
总结：很多问题最后都会归结为几个方程组的求解问题，对方程组的求解大学«线性代数»中介绍的克拉默法则条件苛刻，要求前提0≠A ,而且计算量很大，所以克拉默法则是一个效率很低经济效益又很差的算法，在实际中用迭代法解方程组就是一个很现实的方法。
迭代法的解法思想就是用逐次试探方程组的解，当相邻两次的解差值很小到可接受的范围时，此时的解即为最近似解，可以当做方程组的解。