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东南大学数值分析每章小结


(6)最佳一致逼近:掌握赋范线性空间的定义
和连续函数的范数,理解最佳一致逼近多 项式的概念和特征定理,掌握最佳一致逼 近多项式的求法。
(7)最佳平方逼近:理解内积空间的概念,掌 握求离散数据的最佳平方逼近的方法,会 求超定方程组的最小二乘解,掌握连续函 数的最佳平方逼近的求法。
• 5. 数值积分与数值微分
③ Romberg求积法:掌握Romberg算法,了解Richardson外 推法的基本思想。
④ Guass求积公式:理解Guass公式的概念,掌握GaussLegendre求积公式、一般区间上的Gauss-Legendre求积公 式,熟练使用两点和三点Guass公式,了解Guass公式的截 断误差。
• 8.偏微分方程数值解法
① 抛物型方程的差分解法:古典显格式、古典隐格式、Crank –Nicolson格式的建立、计算、截断误差 (五个基本公式)。
② 差分格式稳定性和收敛性:稳定性和收敛性定义;古典显格式 稳定性和收敛性的推导、其他格式稳定性和收敛性结论。
③ 双曲型方程的差分解法:显格式和隐格式的建立、计算、截断 误差、收敛性稳定性结论。
(3)Hermite插值:掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。
(4)高次插值的缺点和分段低次插值:了解高次插值的缺点和 Runge现象,掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。
(5)三次样条插值:理解三次样条插值的求解思路,会计算第一、 二类边界条件下的三次样条插值函数,了解收敛定理的内容。
② Runge-Kutta方法:理解Runge-Kutta方法的基本思想, 掌握二阶Runge-Kutta公式的推导,了解三阶、四阶 Runge-Kutaa公式的表达形式。
③ 单步方法的收敛性和稳定性:理解方法收敛性和稳定性的概 念,了解收敛性定理和稳定性定理的内容。
④ 线性多步法:熟练掌握基于数值积分的构造法,熟悉AB4公 式、AM4公式以及Adams预测校正公式,掌握基于Taylor 展开的待定系数法,了解线性多步法的收敛性和稳定性条件。
⑤ 数值微分:掌握插值型求导公式及其截断误差表达式,能够 熟练使用两点公式。
• 6.常微分方程数值解法
① Euler方法:掌握Euler公式、梯形公式的推导过程,理解 局部截断误差和整体误差的概念,理解预测校正的思想,掌 握改进的Euler公式,掌握Euer公式和梯形公式的局部截断 误差表达式,了解改进的Euler公式的局部截断误差。
(1)Guass消去法:会应用高斯消去法和列主元Guass消 去法求解线性方程组,掌握求解三对角方程组的追赶法。
(2)方程组的性态及条件数:理解向量范数和矩阵范数的 定义、性质,会计算三种常用范数,掌握谱半径与2范数的关系,会计算条件数,掌握实用误差分析法。
(3)迭代法:熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代 法及SOR方法,能够判断迭代格式的收敛性。
(4)幂法:掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。
• 4.ห้องสมุดไป่ตู้值与逼近
(1)Lagrange插值:熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项 式的表达形式和插值余项。
(2)Newton插值:理解差商的定义、性质,会应用差商表计 算差商,熟练掌握Newton插值多项式的表达形式,了解 Newton型插值余项的表达式。
④ 椭圆型方程的差分解法:矩形域上差分格式的建立、计算、截 断误差;差分格式解的存在唯一性、收敛性结论。
① 插值型求积公式:理解插值型求积公式的概念和代数精度的 概念,理解插值型求积公式与代数精度的关系,掌握代数精 度的求法,熟练使用梯形公式和Simpson公式,能推导梯形 公式和Simpson公式的截断误差表达式,了解Cotes公式及 其截断误差表达式。
② 复化求积公式:深入理解复化求积的思想,掌握复化梯形公 式、复化Simpson公式、复化Cotes公式及它们的误差表达 形式,理解复化公式阶的概念。
• 2. 非线性方程解法
①简单迭代法:熟练掌握迭代格式、几何表示以及收 敛定理的内容,理解迭代格式收敛的定义、局部收 敛的定义和局部收敛定理的内容。
②牛顿迭代法:熟练掌握Newton迭代格式及其应用, 掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容, 了解Newton法的变形和重根的处理方法。
• 3.线性方程组数值解法
• 1. 绪论
① 误差的基本概念:了解误差的来源,理解绝对误差、 相 对误差和有效数的概念,熟练掌握数据误差对函 数值影响的估计式。
② 机器数系:了解数的浮点表示法和机器数系的运算 规则。
③ 数值稳定性:理解算法数值稳定性的概念,掌握分 析简单算例数值稳定性的方法,了解病态问题的定 义,学习使用秦九韶算法。
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