第12章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
● 本章重点
1、非正弦量有效值及非正弦周期电路平均功率计算；
2、非正弦周期电路的计算。
● 本章难点
1、非正弦周期电路计算时，恒定分量与不同次谐波分量单独作用电路区别及求解。
● 教学方法
本章主要讲述了非正弦周期信号有效值及非正弦周期电流电路平均功率计算；非正弦周期电流电路的分析方法采用谐波分析法。
本章共用4课时。
对重点和难点内容，通过讲例题加以分析，深入浅出，举一反三。
对三相电路中的高次谐波等内容，本章采用自学方式。
● 授课内容
12.1非正弦周期信号 1、非正弦周期电流
2、非正弦产生的原因
1）激励为非正弦； 2）电路中存在非线性元件； 3）不同频率信号作用在电路中。
3、解决方法
激励：利用傅立叶级数展开
01
()cos()
()2S km k S k u t U U k t u t T
ωϕπ
ωω∞
==++=
---∑为非正弦周期函数
基波频率k ---k 次谐波频率
响应：利用叠加定理求解
12.2非正弦周期量的有效值及电路平均功率 1、有效值
周期量有效值的定义：()dt t f
T
F T
⎰
=
2
1
注意：在正弦电路中，正弦量的最大值与有效值之间存在2
倍的关系，m F F =。
对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无此种简单关系。
非正弦周期量： 01
()cos()km
k k f t F F
k t ωϕ∞
==+
+∑
将f (t )代人有效值定义式，并利用三角函数的正交性
22000
1,T i F dt F T =⎰ 001,2cos()0T
k k ii F F k t dt T
ωψ+=⎰ ()k km k Y km F F dt t k F T iii ==+⎰2
cos 1,
2
02ϕϖ 0
1,2cos()cos()0
T
km k qm q iv F k t F q t dt k q T ωψωψ++=≠⎰
则有
222220
1
1
k
k k F F F F F F ∞
==++++=+∑……
非正弦周期电流的有效值 2222220
1
2
3
1
...k K I I I I I I I ∞
==
+++=+∑
同理，非正弦周期电压的有效值 2222220
1
2
3
1
...k
K U U U U U U U
∞
==++++=+
∑
以上两式表明，非正弦周期电流或电压的有效值为其直流分量和各次谐波分量有效值的平方和的平方根。
2、非正弦周期电流电路的平均功率
如图所示一端口N 的端口电压u (t )和电流i (t )的关联参考方向下，一端口电路吸收的瞬时功率和平均功率为
1()()*() ()T
p t u t i t p p t dt T ==⎰
一端口电路的端口电压u (t )和电流i (t )均为非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为
01
01
()cos()
()cos()
km uk k km ik k u t U U k t i t I I k t ωψωψ∞
=∞
==++=++∑∑
在图示关联参考方向下，一端口电路吸收的平均功率
0011()()*()T T
P p t dt u t i t dt T T
=
=⎰⎰
将上式进行积分，并利用三角函数的正交性，
0000
01
,I U dt I U T i T
=⎰ 001,
cos()0T
km ik ii U I k t dt T ωψ+=⎰ 00
1,cos()0T
km ik iii I U k t dt T ωψ+=⎰
01,cos()*cos()cos()2T
km km km uk km ik
uk ik U I iv U k t I k t dt T ωψωψψψ++=-⎰ 2cos k k k k U I P ϕ=@
1,cos()*cos()0T
km uk qm iq v U k t I k t dt T ωψωψ++=⎰
故 0
1
k k P P P ∞
==+∑
上式表明，不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成平均功率，只有同频率的电压与电流才能构成平均功率；电路的平均功率等于直流分量和各次谐波分量各自产生的平均功率之和，即平均功率守恒。
12.3非正弦周期电路计算
非正弦周期电路的解题步骤： 1、 将激励按傅立叶级数展开；
2、 恒定分量和各谐波分量分别单独作用求响应；
注意：1）直流分量作用时，电感相当于短路，电容相当于开路。
2）电感、电容对各谐波的阻抗导纳不同
1Lk Ck X X k C
k L
ωω=
= 3、 响应叠加（瞬时形式叠加） 例1：已知1
2R L C
ωω==
=Ω，()10100cos 40cos3V u t t t ωω=++ (),(),()C L i t i t i t 求：。
解：⑴10V 分量作用：0000
5A C L I I I ===
+ 10I
0C
(u ()t
⑵100cos V t ω分量作用：
11
111.
.
..
.
1000
45A
2j2
100045A 2j2
500A
Lm Cm m Lm Cm I I I I I ∠==-+∠==-=+=∠o
o o
o o
⑶40cos3V t ω分量作用：
33
333.
.
..
.
40071.6A 2j640018.4A 22j
3
200.81A
Lm Cm m Lm Cm I I I I I ∠==-+∠==-=+=∠o o o o o
(4).在时间域进行叠加。
()545)71.6)A ()45)18.4)A ()550cos 20cos(30.81)A
L C i t t t i t t t i t t t ωωωωωω=+-+-=-++=+++o o o o o
例2：已知RLC 串联电路的端口电压和电流为：()()︒-+=30942cos 50314cos 100t t t u v ，()()3942cos 755.1314cos 10θ++=t t t i ，试求：（1）R 、L 、C 的值。
（2）3θ的值。
（3）
电路消耗的功率。
i R L
u C -
解：由端口电压、电流的瞬时量可知：︒∠=︒∠=•
•
010,010011m m I U 基波电压、电流同相位，对于基波电路发生串联谐振。
∴2
3141
,1010100=Ω=Ω=
LC R （1） 当三次谐波作用时：333755.1,3050θ∠=︒-∠=•
•
m m I U
.
1m U .
1
.
3m U .
3
23
j Ω 2Ω
同时由RLC 串联电路可得：()C
j
L j j Z 9421
942103-+=ω，则 49.28942194210332
2==⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+=m m I U C L Z （2）
10
9421
942arctan
303C L -
=-︒-θ （3） 联立（1）（2）（3）式求解得 ︒-===45.99,3.318,86.313θμF C mH L
()W I U I U P m m m m 4.51545.9930cos 2
1
0cos 213311=︒+︒-+︒=
例3：如图所示为滤波器电路，要求负载中不含基波分量，但四次谐波分量能全部传送到负载。
若ω1=1000rad/s ，C=1Μf ，求L 1、L 2。
负载 解：由题意可知，当基波分量作用时，L 1与C 组成的并联部分发生并联谐振，该部分电路相当于开路，使基波分量无法通过啊。
由H C
L C
L 11
12
1111==
=
ωω可得
同理对于四次谐波分量没有阻挡作用，即四次谐波作用于电路，L 1、C 与L 2的串并联电路相当于短路，此时该电路发生串联谐振，四次谐波全部通过。
所以
()01075.31441441443
2
11
111111121=⨯-=-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅+=-j L j C j
L j C j L j L j j Z ωωωωωωω mH H L 67.6606667.075
.341
2==⨯=。