B）
－ 4a2
= － 4cos B．
由 cos B ∈ （ － 1，0） ，得 0 ＜ － 4cos B ＜ 4，所以，| α
－ β | 的变化范围是（0，2） ．
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
( 上接第 30 页)
[ ] 若 1
＜
1 2a
＜
e，则 f（ x） 在（0，1） 、 1 ，e 2a
－ 4acos B ＞ 0，知原方程有两不等实根．
（2）
因为 α
+
β
=
槡2 b a
＞
0，α
β
=
c a
＞ 0，所
以两个实根 α、β 都是正数．
（3）
当
a
=
c 时，α
+
β
=
槡2 a
b，α
β
=
c a
= 1，
所以
（α － β）2
=
（α + β）2
－ 4αβ
=
2b2 a2
－4
=
2（ a2
+
c2
－ 2accos a2
又切线过点 P，故 x30 － 4x20 + 5x0 － 2 = （3x20 － 8x0 + 5） （ x0 － 2） ，整理得（ x0 － 2）2 （ x0 － 1） = 0，解 得 x0 = 2 或 1．
故所求切线方程为 x － y － 4 = 0，或 y + 2 = 0．
14． （1） 因为函数 f（ x） 的定义域为（0，+ ∞ ） ，
第4 期
高中数学教与学
高二数学测试
一、选择题（ 每小题 5 分，计 40 分） 1． 3 － i = （ ）
1 +i
（ A） 槡5 2
（ B） 槡10
（ C） 槡10 2
（ D） 槡5
2． 设 a、b ∈ Ｒ，则“（ a － b） a2 ＜ 0”是“a ＜ b”
的（ ）
（A） 充分不必要条件
（B） 必要不充分条件
方程；
（2） 求经过点 A（2，－ 2） 的曲线 f（ x） 的切
线方程．
14． （ 本小题满分 14 分） 已知函数 f（ x）
=
ln x x
－ 1．
（1） 求 f（x） 的单调区间；
·29·
高中数学教与学
2020 年
（2） 设 m ＞ 0，求 f（ x） 在区间［m，2m］上的 最大值． 15． （ 本小题满分 14 分） 已知函数 f（ x） = ln x + ax2 + bx（ 其中 a、b 为常数且 a ≠ 0） 在 x = 1 处取得极值． （1） 当 a = 1 时，求 f（ x） 的单调区间； （2） 若 f（ x） 在（0，e］上的最大值为 1，求 a 的值．
得0
＜
v
≤
16 槡3 3
．
当v
=
16 槡3 3
时，可得 k
=
1 3
∈ （0，1） ，因此 v
的最大值为163槡3 ．
答：小船的最大速度为16 槡3 3
千米
/
小时．
( ) 22． （1） 依题意，内角 B ∈
π 2
，π
，则有 cos
B
∈ （ － 1，0） ．
由 Δ = （ － 槡2 b）2 － 4ac = 2b2 － 4ac = 2（ a2 + c2 － 2accos B） － 4ac ≥ （4ac － 4accos B） － 4ac =
值为 f（1） ． 令 f（1） = 1，解得 a = － 2．
②当a
＞ 0，即 x2
=
1 2a
＞ 0 时，若21a
＜ 1，则
( ) [ ) f（x） 在
0，21a 、［1，e］单调增，在
1 2a
，1
单调减，
所以
f（ x）
的最大值可能在 x
=
1 2a
或x
=
e 处取得．
( ) ( ) 由 f 1 = ln 1 + a 1 2 － 2a + 1 = ln 1
切线方程为 y + 2 = x － 2，即 x － y － 4 = 0．
（2） 设曲线 f（ x） 与经过点 A（2，－ 2） 的切线相 切于点 P（ x0 ，x30 － 4x20 + 5x0 － 4） ，由 f '（ x0 ） = 3x20 － 8x0 + 5，得切线方程为 y － （ － 2） = （3x20 － 8x0 + 5）（x － 2）．
（C） 充要条件
（D） 既不充分也不必要条件
3．
不等式xx
－ －
3 1
≤
0
的解集为（
）
（A）｛x | x ＜ 1 或 x ≥ 3｝
（B）｛x | 1 ≤ x ≤ 3｝
（C）｛x | 1 ＜ x ≤ 3｝
（D）｛x | 1 ＜ x ＜ 3｝
4． 当 x
＞
0 时，f（ x）
=
2x x2 +
1
的最大值为
（）
参考答案
一、选择题
1． D； 2． A； 3． C； 4． B；
5． C； 6． A； 7． B； 8． A．
二、填空题
9． 四； 10．［0，1） ； 11． 3； 12． （ － ∞ ，－ 3］．
三、解答题 13． （1） 由 f '（ x） = 3x2 － 8x + 5，得 f '（2） =
1；又 f（2） = － 2，故曲线 f（ x） 在点（2，f（2） ） 处的
=
f（ m）
=
ln m m
－
1．
15． （1） f（ x） = ln x + x2 + bx 的定义域为（0，
+ ∞ ） ，且 f '（ x）
=
1 x
+ 2x + b．
由 f（ x） 在 x = 1 处取得极值，得 f '（1） = 1 + 2 + b = 0，得 b = － 3． 故 f '（ x） = 2x2 － 3x + 1．
+
a x
（a ∈ Ｒ） 在区间
［e －2 ，+ ∞ ） 上有两个零点，则 a 的取值范围
是（ ）
[ ) （A）
2 e2
，1 e
[ ] （B）
2 e2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，1 e
( ] （C）
2 ，1 e2 e
[ ] （D）
1 ，2 e2 e
二、填空题（ 每小题 5 分，计 20 分）
9． 复数 z = 2i （ i 为虚数单位） ，其共轭复数 1 +i
f（ x） max
=
f（2m）
=
ln（2m） 2m
－ 1．
当
m
＜
e
＜
2m，即
e 2
＜ m ＜ e 时，函数 f（ x） 在
·30·
区间（ m，e） 单调增，在（ e，2m） 单调减，所以
f（ x） max
= f（e）
=
1 e
－ 1．
③ 当 m ≥ e 时，函数 f（ x） 在区间［m，2m］单调
减，所以 f（ x） max
单调
[ ) 增，在 1，21a 单调减，所以 f（x） 的最大值可能在
x = 1 或 x = e 处取得．
由于 f（1） = － a － 1 ＜ 0，令 f（ e） = ln e + ae2
－ （2a + 1）e
= 1，解得 a
=
e
1 －
，与 2
1
＜
x2
=
1 2a
＜
·28·
e 矛盾．
若 x2
=
1 2a
所以
7 4
＜ AM2 ≤
9 4
，得槡27
＜ AM ≤
3 2
．
21． （1） 设运动员游泳速度为 x 千米 / 小时． 由 题意可知（ xt）2 = 22 + （12t）2 － 2 × 2 × 12tcos 30°，
( ) 整 理得 x2
=
4 t2
－
24 槡3 t
+ 144 =
2 t
－ 6 槡3
2
+ 36．
( ) 192
m t
2
+ （128 － 16槡3 v）
m t
+ v2 － 64 = 0．
设m t
= k，0 ＜ k ＜ 1，则
192k2 + （128 － 16 槡3 v） k + v2 － 64 = 0， 其中 k ∈ （0，1） ，该方程关于 k 在（0，1） 有解，必有
Δ = （128 － 16槡3 v）2 － 4 × 192 × （ v2 － 64） ≥ 0，解
[ ( )] = － 2
cos2B + cos2
2π 3
－
B
+4
( ) = 2
槡3 2
sin
2B
－
1 2
cos
2B
+4
( ) = 2sin
2B －
π 6
+ 4．
( ) 由锐 角
B、
2π 3
－
B
∈
0，π2 ， 得 B ∈
( ) ( ) π ，π 62
，故 2B －
π 6
∈
π ，5π ，得 5 ＜ T ≤ 6． 66