海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2017.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{2,0,1}A =-，{|1B x x =<-或0}x >，则A B = A. {2}- B. {1} C. {2,1}- D. {2,0,1}-2.二项式62)x x-（的展开式的第二项是 A.46x B.46x - C.412x D. 412x -3.已知实数,x y 满足10,30,3,x y x y y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最小值为 A.11 B.5 C.4 D. 24.圆2220x y y +-=与曲线=1y x -的公共点个数为 A ．4 B ．3 C ．2 D.05.已知{}n a 为无穷等比数列，且公比1q >，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下面结论正确的是A. 32a a >B. 12+0a a >C.2{}n a 是递增数列D. n S 存在最小值 6.已知()f x 是R 上的奇函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x +=”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在．．．．一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是A. ①B.①②C.②③D.①②③8.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转(1,2,3,4)i i =次，每次转动90︒，记(1,2,3,4)i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<，1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A.1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B.1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C.1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D.1234,,,T T T T 中至多有一个为负数 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在极坐标系中，极点到直线cos 1ρθ=的距离为____. 10.已知复数1iiz -=，则||z =____.11.在ABC ∆中，2A B =，23a b =，则cos B =_______.12.已知函数1()2x f x x =-，则1()2f ____(1)f （填“>”或“<”）；()f x 在区间1(,)1n nn n -+上存在零点，则正整数n =_____. 13.在四边形ABCD 中，2AB =. 若1()2DA CA CB =+，则AB ⋅DC =____.14.已知椭圆G ：22216x y b+=(0b <<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_____________． 三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）已知函数3π3π()sin 2cos cos2sin 55f x x x =-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最小值.16.（本小题满分13分）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.上图中，已知课程,,,,A B C D E 为人文类课程，课程,,F G H 为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M ”).(Ⅰ)在“组M ”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？(Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M ”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F1图2图3图或课程H 的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G 的同学参加，费用为每人2000元. (ⅰ)设随机变量X 表示选出的4名同学中选择课程G 的人数，求随机变量X 的分布列； (ⅱ)设随机变量Y 表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y 的期望. 17.（本小题满分14分）如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.（Ⅰ）求证：//AC 平面PDB ；（Ⅱ）求二面角P AB C --的余弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CECP 的值；如果不存在，请说明理由.18.（本小题满分14分）已知动点M 到点(1,0)N 和直线l ：1x =-的距离相等. （Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C .判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论．19.（本小题满分13分）已知函数()e ax f x x =-.（Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线l 与直线230x y ++=垂直，求a 的值；（Ⅱ）当1a ≠时，求证：存在实数0x 使0()1f x <.20.（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ，记{|,}j i T x x a a i j ==-<，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使得只要m k a a t -=（*,m k ∈N 且m k >），必有11m k a a t ++-=”，则称数列{}n a 具有性质()P t .（Ⅰ）若数列{}n a 满足2,2,25,3,n n n a n n ≤⎧=⎨-≥⎩判断数列{}n a 是否具有性质(2)P ？是否具有性质(4)P ？（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质(0)P ”的必要不充分条件； （Ⅲ）已知{}n a 是各项为正整数的数列，且{}n a 既具有性质(2)P ，又具有性质(5)P ，求证：存在整数N ，使得12,,,,,N N N N k a a a a +++是等差数列.A C DB P海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科） 2017.5共30分）三、解答题(本大题共15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3π3π3π()sin 2cos cos2sinsin(2)555f x x x x =-=--所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，因为sin y x =的对称轴方程为ππ,2x k k =+∈Z ，令3ππ2π,52x k k -=+∈Z ，得11π1π,202x k k =+∈Z .所以()f x 的对称轴方程为11π1π,202x k k =+∈Z . 或者：()f x 的对称轴方程为3ππ22π52x k -=+和3ππ22π,52x k k -=-+∈Z ，即11ππ20x k =+和ππ,20x k k =+∈Z . （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以2[0,π]x ∈，所以3π3π2π2[,]555x -∈-，所以当3ππ252x -=-即π20x =时，()f x 在区间π[0,]2上的最小值为1-.16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)⨯1%=12(人)； 选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)⨯1%=8(人).(Ⅱ)(ⅰ)依题意，随机变量X 可取0，1，2.4062483(0)14C Cp X C ===；3162484(1)7C C p X C ===；2262483(2).14C C p X C === 故随机变量X 的分布列为(ⅱ)法1：依题意，随机变量Y X X ，所以随机变量Y 的数学期望为E (Y )=6000+500E (X )=6000+500(34301214714⨯+⨯+⨯)=6500.(ⅱ)法2：依题意，随机变量Y 可取6000，6500，7000.所以随机变量Y 的分布列如右表，所以随机变量Y 的数学期望为E (Y )=34360006500700014714⨯+⨯+⨯=6500.17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD ，所以60DBA ∠=.因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=，又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC .所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ，所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知(1,0,0)B ，A ，(0,0,1)P ，C .平面ABC 的法向量(0,0,1)=n ，设(,,)x y z =m 为平面PAB 的一个法向量，则由0,BA BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可得0,0,x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则x z =所以平面PAB 的一个法向量=m ，cos ,||||71⋅<>==⨯m n m n m n 所以二面角P AB C --的余弦值为（Ⅲ）由（Ⅱ）可得(1,AB =，1)PC =-，因为1)(1,10PC AB ⋅=-⋅=-≠，所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE . 18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，所以轨迹E 的方程为24y x =.（Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --=（*），因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，所以216160m n ∆=+=，即2n m =-.所以（*）可化简为22440y my m -+=，所以2(,2)A m m ，令1x =-得1(1,)nP m+--，因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220nNA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--=所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠，由2,4y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+=（*），因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k -+=，所以212(,)A k k .令1x =-得1(1,)P k k --，因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=，所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）'()e 1ax f x a =-，因为曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与直线230x y ++=垂直，所以切线l 的斜率为2，所以'(0)2f =，所以3a =.（Ⅱ）法1：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <；当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a=，所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；11(ln ,)x a a∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11(ln ,)a a +∞上递增，所以11(ln )f a a =1(1ln )a a +是()f x 的极小值.由函数()e ax f x x =-可得(0)1f =，由1a ≠可得11ln 0a a≠，所以11(ln )(0)1f f a a<=，综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.（Ⅱ）法2：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <；当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a=，所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；11(ln ,)x a a∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11(ln ,)a a +∞上递增.所以11(ln )f =1ln a +是()f x 的极小值.设1ln ()x g x +=，则2ln '()(0)x g x x x-=>,令'()0g x =，得1x =所以当1x ≠时()(1)1g x g <=，所以(ln )1f a a<，综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质(2)P ；具有性质(4)P . （Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,，{1,0,1}T =-是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，所以不具有性质(0)P ；（必要性）因为数列{}n a 具有性质(0)P ，所以一定存在一组最小的*,m k ∈N 且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =。