§15.1 简谐振动的特点
A
将小球推离平衡位置并释放，小球来回振动，如果摩擦阻力小， 小球振动的次数就多。假如一点阻力也没有，小球只受弹性回复力， 振动将永久持续下去，这种理想化的振动是——简谐振动。 位置A：小球所受合力为零的位置，称为振动系统的平衡位置。
一、谐振动中的理想模型—弹簧振子
km
0
X
如果振动物体可表示为一质点，而与之相连接的所有弹簧等效 为一轻弹簧，忽略所有摩擦，可用弹簧振子描述简谐振动。
二、谐振动的特点：
1、动力学特征：
以平衡位置为坐标原点，水平向右为正，则小球所受弹性力F 与小球离开平衡位置的位移x有以下关系：
FKx
FKx 回复力
K是弹簧的弹性系数，负号表示力和位移方向相反。 动力学特征：质点所受得力大小与位移成正比，方向相反。 从动力学观点，若物体仅受线性回复力作用，它就作简谐振动。
k m
t =0, x(0) = 0, v(0) = v
A x02v022 (m1 mm 22)v, tg vx((00 ))2
xA cots (2)
[例3] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹 簧伸长量为b 。求证：放手后小球作简谐振动，并写出 振动方程。
证明：
取平衡位置为坐标原点，静
第 十五章 机械振动
机械振动： 物体在一定位置附近来回往复的运动。 其轨迹可以是直线，也可以是平面曲线或空间曲线。
机械振动可分为周期性振动和非周期性振动，最简单 的机械振动是周期性的直线振动——简谐振动。任何复杂 的振动都可认为是由若干个简谐振动合成的。
基本内容：
谐振动的特征 谐振动的描述 谐振动的合成
2、运动学特征：
d2x k Fk xm aa x
d2t m
d2x k x0
dt2 m
令 2 k
m
积分得：
d2x 2x 0
d t2
xAcost()
运动学特征：物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正 弦或余弦的函数。
从运动学观点，若物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律 是正弦或余弦的函数，它就作简谐振动。
km
0
X
解：问题归结于求 xAcost() vAs in(t)
t0 xAA co s6o0
2
t = 0 小球向 x 负方向运动，因而 v 0 = +600
例2 如图所示,弹簧处于原长,当子弹射入后,求系统的振动方程。
k
m1
v
m2
0
X
解： m 2v(m 1m 2)v'
v' m 2 v m 1m 2
能量特征：谐振动的机械能等于x为A时的弹性势能，或速 度最大时（平衡位置）的动能。振动过程中动能和势能相 互转换，机械能守恒。
一个周期内的平均动能与平均势能：
Ek Ep1 4kA 2
例6.谐振子在相位为 3
,其动能为E k
,求其机械能。
解：
Ek1 2mm 2svi2n (t)
Esi2n (t)
Esin2
A co t s [T ]
又 A c o t ) s A ( c o t s2 ( )
比较知 T2
22 称为圆频率
T
k
仅决定于振动系统的力学性质。
m
t + : 称位相或相位或周相，是表示任意 t 时刻振动物体动
状态的参量。
: 称为初位相，是表示 t=0 时刻振动物体状态的参量。
2、位移、速度 加速度
3、能量特征：
vd d x t A si n t () V m si n t ()
其中
Vm A
E k 1 2 m 2 1 2 m 22 S A 2 ( it n)
E p 1 2k2x 1 2k2 C A2 (o t s)
1 2m2A 2 C2o (t s )
E k E p 1 2m 2A 2 1 2k2 A 1 2m m 2 恒
旋转矢量旋转的方向为逆时针方向
M 点在x 轴上投影P点的运动规律为振动方程：
xAcots()
注注注意意意：：：旋旋旋转转转矢矢矢量量量在在在第第第14象象32象限限限速速速度度度vv<v>00><0
MM
M M
M
M
M
M M
PP
xbCo( sbgt)
二、谐振动的图线描述法
x
A
0
t1
t
两类问题：
1、已知谐振动方程，描绘谐振动曲线 2、已知谐振动曲线，描绘谐振动方程
三、 简谐振动的旋转矢量表示法
1、旋转矢量
ω
M
旋转矢量的长度：振幅 A
A
旋转矢量旋转的角速度：
圆频率 0
旋转矢量与参考方向x 的夹角：
（ωt+φ） P x
x
振动周相
3
Ek
E3 4
故 E34Ek
§ 15.2 简谐振动的描述
一、谐振动的代数描述法
xA cos t ()
1、方程中各参量的物理意义 x : 表示 t 时刻质点离开平衡位置的位移。
A: 质点离开平衡位置的位移最大值的绝对值——振幅。
： A co t ) s A ( co ( t T s ) [ ]
平衡受力分析如图
F
则有： kb - mg = 0
任意位置时小球所受到的 x
合外力为：
ΣF =mg -k ( b+x ) = -kx
小球作谐振动
自然长度
b
平衡位置
mg
由mg - kb = 0得：
ω=
k m
=
g b
由题知：
t=0时， x0=-b， v0=0 则可得：
A=b , φ= π
所以运动方程为：
t
问题： 是描述t=0时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动物 体的状态（t=0 时的位置及速度：x0 v0 )，如何求解相对应的 ？
（1）、已知 t = 0 振动物体的状态x(0), v(0)求
x(0)Acos
v(0)Asin
可得：
A x2(0)v2(20)
tg v(0) x(0)
A与由系统的初始条件[x(0), v(0)]决定
（2）已知 t = 0 振动物体的状态x(0)及A时求
x(0)Acos
arccox(0s)
A
v00, (sin0) v00, (sin0)
最终确定初位相的值
例1：如图所示，将小球拉至A释放，小球作谐振动。如果已知 k, ，
以小球运动至A/2处，且向x负方向运动作为计时的起点，求小球的 振动方程。
xA cos t ()
vd d x t m A C s( o i tn t s ( ) 2) V m si n t ()
v 的位相超前 x /2
ad vA 2cots ()
dt
a m co t s)( 2 x
其中
amA2 是加速度的幅值
a 与 x 的位相相
0