2018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合P ={x|0≤x <3, x ∈Z}，M ={x|x 2≤9}，则P ∩M =________． 【答案】 {0, 1, 2} 【考点】 交集及其运算 【解析】求出集合P ，M ，由此能求出P ∩M ． 【解答】∵ 集合P ={x|0≤x <3, x ∈Z}={0, 1, 2}， M ={x|x 2≤9}={x|−3≤x ≤3}， ∴ P ∩M ={0, 1, 2}．2. 计算lim n→∞C n2n 2+1=________．【答案】 12【考点】 极限及其运算 【解析】根据组合公式求得C n2=n(n−1)2，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】limn→∞C n2n 2+1=limn→∞n(n−1)2(n 2+1)=12limn→∞1−1n1+1n 2=12，3. 方程|1+lgx3−lgx11|=0的根是________．【答案】 10【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】化简方程求出x 的值． 【解答】 ∵ |1+lgx 3−lgx11|=0，即1+lgx −3+lgx =0，∴ lgx =1， ∴ x =10．4. 已知(sinα−35)+(cosα−45)i 是纯虚数（i 是虚数单位），则sin(α+π4)=________．−√2 【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的模复数的基本概念 【解析】 由题意可得sinα、cosα的值，展开两角和的正弦求得sin(α+π4)． 【解答】∵ (sinα−35)+(cosα−45)i 是纯虚数， ∴ {sinα−35=0cosα−45≠0，得sinα=35且cosα≠45， ∴ α为第二象限角，则cosα=−45．∴ sin(α+π4)=sinαcos π4+cosαsin π4=35×√22−45×√22=−√210．5. 已知直线l 的一个法向量是n →=(√3,−1)，则l 的倾斜角的大小是________． 【答案】 π3【考点】 平面的法向量 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0, π)．设直线的方向向量为u →=(x, y)，则u →∗n →=0，可得tanθ=yx ．【解答】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0, π)．设直线的方向向量为u →=(x, y)，则u →∗n →=√3x −y =0， ∴ tanθ=yx =√3，解得θ=π3．6. 从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是________（用数字作答） 【答案】 96【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，用间接法分析：首先计算在10名学生中任取3人的选法数目，再分析其中只有男生和只有女生的选法数目，分析即可得答案．根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120−4−20=96种；7. 在(1+2x)5的展开式中，x2项系数为________（用数字作答）【答案】40【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数【解答】设求的项为T r+1=C5r(2x)r，今r=2，∴T3=22C52x2=40x2．∴x2的系数是408. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是________（结果用反三角函数表示）【答案】arccos 3√2 10【考点】异面直线及其所成的角【解析】由BC // B1C1，得∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线A1B与B1C1所成角．【解答】∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，AB=BB1，BC // B1C1，∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，∵A1B=√AA12+AB2=√(9+16)+(9+16)=5√2，A1C=√AA12+AC2=√(9+16)+16=√41，∴cos∠A1BC=A1B2+BC2−A1C22×A1B×BC =2×5√2×3=3√210．∴∠A1BC=arccos3√210．9. 已知数列{a n}、{b n}满足b n=lna n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，且a3∗a1007= e4，则b1+b2+...+b1009=________．【答案】2018【考点】数列的求和【解析】数列{a n}、{b n}满足b n=lna n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，可得b n+1−b n=lna n+1−lna n=ln a n+1a n =常数t．a n+1a n=常数e t=q>0，因此数列{an}为等比数列．由a3∗a1007=e4，可得a1a1009=a2a1008=a3∗a1007=e4=…．再利用对数运算性质即可得出．【解答】数列{a n}、{b n}满足b n=lna n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，∴b n+1−b n=lna n+1−lna n=ln a n+1a n=常数t．∴a n+1a n=常数e t=q>0，因此数列{a n}为等比数列．且a3∗a1007=e4，∴a1a1009=a2a1008=a3∗a1007=e4=…．则b1+b2+...+b1009=ln(a1a2...a1009)=ln√(e4)1009=lne2018=2018．10. 如图，向量OA→与OB→的夹角为120∘，|OA→|=2，|OB→|=1，P是以O为圆心，|OB→|为半径的弧BC^上的动点，若OP→=λOA→+μOB→，则λμ的最大值是________．【答案】12【考点】平面向量的基本定理平面向量的坐标运算【解析】如图建立平面直角坐标系，设P(cosθ, sinθ)，OP→=(cosθ,sinθ)，OA→=(2,0)，OB→=(−12,√32).cosθ=2λ−12μ，sinθ=√32μ，λμ=2√3−16cos2θ+16=13sin(2θ+β)+1 6≤12，如图建立平面直角坐标系，设P(cosθ, sinθ)， OP →=(cosθ,sinθ)，OA →=(2,0)，OB →=(−12,√32)． ∵ OP →=λOA →+μOB →，∴ cosθ=2λ−12μ，sinθ=√32μ．∴ {λ=12cosθ2√3μ=√3 ， ∴ λμ=23−16cos2θ+16=13sin(2θ+β)+16≤12，11. 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点，过F 1且倾斜角为30∘的直线交双曲线的右支于P ，若PF 2⊥F 1F 2，则该双曲线的渐近线方程是________． 【答案】 y =±√2x 【考点】 双曲线的特性 【解析】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ，由双曲线的定义和直角三角形中的性质，可得m ，n 的关系，由a ，b ，c 的关系可得b ，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求． 【解答】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ， 在直角△PF 1F 2中，∠PF 1F 2=30∘， 可得m =2n ，则m −n =2a =n ，即a =12n ， 2c =√3n ，即c =√32n ， b =√c 2−a 2=√22n ， 可得双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，即为y =±√2x ，12. 如图，在折线ABCD 中，AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若折线上满足条件PE →∗PF →=k 的点P 至少有4个，则实数k 的取值范围是________．【答案】 9【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，分别表示各个点的坐标，设P(x, y)，根据向量的数量积可得当k+9>0时，点P的轨迹为以(0, √3)为圆心，以√k+9为半径的圆，结合图象，即可求出满足条件PE→∗PF→=k的点P至少有4个的k的取值范围．【解答】以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120∘，∴B(−2.0)，C(2, 0)，A(−4, 2√3)，D(4, 2√3)，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴E(−3, √3)，F(3, √3)，设P(x, y)，−4≤x≤4，0≤y≤2√3，∵PE→∗PF→=k，∴(−3−x, √3−y)(3−x, √3−y)=x2+(y−√3)+9=k，即x2+(y−√3)=k+9，当k+9>0时，点P的轨迹为以(0, √3)为圆心，以√k+9为半径的圆，当圆与直线DC相切时，此时圆的半径r=3√3，此时点有2个，2当圆经过点C时，此时圆的半径为r=√22+3=√7，此时点P有4个，∵满足条件PE→∗PF→=k的点P至少有4个，结合图象可得，∴27≤k+9≤7，4≤k≤−2，解得−94, −2]，故实数k的取值范围为[−94二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2 // l3，则下列结论一定正确的是（）A.l1⊥l3B.l1 // l3C.l1、l3既不平行也不垂直D.l1、l3相交且垂直【答案】A【考点】平面的基本性质及推论【解析】由l1⊥l2，l2 // l3，得到l1⊥l3．【解答】∴l1⊥l3，若a>b>0，c<d<0，则一定有（）A.ad>bcB.ad<bcC.ac>bdD.ac<bd【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】∵c<d<0，∴−c>−d>0．又a>b>0，则一定有−ac>−bd，可得ac<bd．无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n(n∈N∗)，则“a1+d>0”是“{S n}为递增数列”的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n=na1+n(n−1)2d，则S n+1=(n+1)a1+n(n+1)d2，则S n+1−S n=(n+1)a1+n(n+1)d2−na1−n(n−1)2d=a1+nd，若{S n}为递增数列，a1+nd>0，∵S2−S1=a1+d>0，∴a1+nd>0不能推出a1+d>0但a1+d能推出a1+nd，故a1+d>0”是“{S n}为递增数列必要非充分，已知函数f(x)={log12(1−x)−1≤x≤n22−|x−1|−3n<x≤m(n<m)的值域是[−1, 1]，有下列结论：①当n＝0时，m∈(0, 2]；②当n=12时，m∈(12,2]；1④当n ∈[0,12)时，m ∈(n, 2]；其中结论正确的所有的序号是（ ） A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 【答案】 C【考点】分段函数的应用 【解析】根据函数函数的单调性及分段函数的定义，画出函数图象，根据图象即可求得答案． 【解答】当x >1时，x −1>0，f(x)＝22−x+1−3＝23−x −3，单调递减， 当−1<x <1时，f(x)＝22+x−1−3＝21+x −3，单调递增，∴ f(x)＝22−|x−1|−3在(−1, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减， ∴ 当x ＝1时，取最大值为1，∴ 绘出22−|x−1|−3的图象，如图下方曲线：①当n ＝0时，f(x)={log 12(1−x)−1≤x ≤022−|x−1|−30<x ≤m，由函数图象可知：要使f(x)的值域是[−1, 1]， 则m ∈(1, 2]；故①错误；②当n =12时，f(x)=log 12(1−x)，f(x)在[−1, 12]单调递增，f(x)的最大值为1，最小值为−1， ∴ m ∈(12,2]；故②正确；③当n ∈[0,12)时，m ∈[1, 2]；故③正确，④错误， 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）已知函数f(x)=32sinωx +√32cosωx （其中ω>0）．（1）若函数f(x)的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f(x)的单调递增区间；（2）若ω=2，0<α<π，且f(α)=32，求α的值． 【答案】函数f(x)=32sinωx +√32cosωx =√3sin(ωx +π6)，∵ 函数f(x)的最小正周期为3π，即T =3π=2πω∴ ω=23那么：f(x)=√3sin(23x +π6)，得：3kπ−π≤x≤π2+3kπ∴函数f(x)的单调递增区间为[−π+3kπ,π2+3kπbrack，k∈Z；函数f(x)=32sinωx+√32cosωx=√3sin(ωx+π6)，∵ω=2∴f(x)=√3sin(2x+π6)，f(α)=32，可得sin(2α+π6)=√32∵0<α<π，∴π6≤(2α+π6)≤13π62α+π6=π3或2π3解得：α=π4或α=π12．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图象【解析】（1）利用辅助角公式化简，根据函数f(x)的最小正周期为3π，即可求ω的值和单调递增区间；（2）将ω=2，可得f(x)解析式，0<α<π，由f(α)=32，利用三角函数公式即可求α的值．【解答】函数f(x)=32sinωx+√32cosωx=√3sin(ωx+π6)，∵函数f(x)的最小正周期为3π，即T=3π=2πω∴ω=23那么：f(x)=√3sin(23x+π6)，由2kπ−π2≤23x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得：3kπ−π≤x≤π2+3kπ∴函数f(x)的单调递增区间为[−π+3kπ,π2+3kπbrack，k∈Z；函数f(x)=32sinωx+√32cosωx=√3sin(ωx+π6)，∵ω=2πf(α)=32，可得sin(2α+π6)=√32∵0<α<π，∴π6≤(2α+π6)≤13π62α+π6=π3或2π3解得：α=π4或α=π12．如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，SO=2√3，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60∘．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小．【答案】∵AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，SO=2√3，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60∘．∴r=AB2=2，l=√AO2+SO2=√4+12=4，∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π．过点P作PE⊥圆O，交AO于E，连结CE，则E是AO中点，∴PE=12PO=√3，CE=√22−12=√3，∵OE=1，OC=2，∴CE⊥AO，∴∠PCE是直线PC与底面所成角，∵PE=CE，PE⊥CE，∴∠PCE=π4，∴直线PC与底面所成的角为π4．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】AB（2）过点P 作PE ⊥圆O ，交AO 于E ，连结CE ，则E 是AO 中点，∠PCE 是直线PC 与底面所成角，由此能求出直线PC 与底面所成的角．【解答】∵ AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，SO =2√3，AB =4，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，∠AOC =60∘．∴ r =AB 2=2，l =√AO 2+SO 2=√4+12=4，∴ 圆锥的侧面积S =πrl =π×2×4=8π．过点P 作PE ⊥圆O ，交AO 于E ，连结CE ，则E 是AO 中点，∴ PE =12PO =√3，CE =√22−12=√3，∵ OE =1，OC =2，∴ CE ⊥AO ，∴ ∠PCE 是直线PC 与底面所成角，∵ PE =CE ，PE ⊥CE ，∴ ∠PCE =π4，∴ 直线PC 与底面所成的角为π4．某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）． （1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？【答案】设第x 天的捐步人数为x ，则f(x)={10000(1+15%)x−1,1≤x ≤30f(30),x >30． ∴ 第5天的捐步人数为f(5)=10000⋅(1+15%)4=17490．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，∴ 前5天的捐步总收益为10000(1−1.155)1−1.15×0.05=3371；设活动第x 天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，①若1≤x ≤30，则10000(1−1.15x )1−1.15×0.05>300000，解得x >log 1.1591≈32.3（舍）．②若x >30，则[10000(1−1.1530)1−1.15+10000⋅1.1529⋅(x −30)]•0.05>300000，解得x >32.87．∴ 活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．【考点】等比数列的性质根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据等比数列的性质求出；（2）对活动天数x 进行讨论，列出不等式求出x 的范围即可．【解答】设第x 天的捐步人数为x ，则f(x)={10000(1+15%)x−1,1≤x ≤30f(30),x >30． ∴ 第5天的捐步人数为f(5)=10000⋅(1+15%)4=17490．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，∴ 前5天的捐步总收益为10000(1−1.155)1−1.15×0.05=3371；设活动第x 天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，①若1≤x ≤30，则10000(1−1.15x )1−1.15×0.05>300000，解得x >log 1.1591≈32.3（舍）．②若x >30，则[10000(1−1.1530)1−1.15+10000⋅1.1529⋅(x −30)]•0.05>300000，解得x >32.87．∴ 活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．已知椭圆x 210+y 29=1的右焦点是抛物线Γ：y 2=2px 的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)．（1）求Γ的方程；（2）若直线l 经过点P(2, 0)，求△OAB 的面积的最小值（O 为坐标原点）；（3）已知点C(1, 2)，直线l 经过点Q(5, −2)，D 为线段AB 的中点，求证：|AB|=2|CD|．【答案】由椭圆x 210+y 29=1，得a 2=10，b 2=9，则c =1． ∴ 椭圆x 210+y 29=1的右焦点，即抛物线Γ：y 2=2px 的焦点为(1, 0)， 则p 2=1，p =2，∴ Γ的方程为y 2=4x ；设直线l:x =my +2，联立{x =my +2y 2=4x，得y 2−4my −8=0． 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8．∴ S △OAB =12×2×|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16m 2+32=4√m 2+2≥4√2，即△OAB 的面积的最小值为4√2；证明：当AB 所在直线斜率存在时，设直线方程为y +2=k(x −5)，即y =kx −5k −2．联立{y =kx −5k −2y 2=4x，可得ky 2−4y −20k −8=0． y 1+y 2=4k，y 1y 2=−20k+8k ． x 1+x 2=y 1+y 2+10k+4k =10k 2+4k+4k 2． x 1x 2=(y 1+5k +2)(y 2+5k +2)k 2=y 1y 2+(5k +2)(y 1+y 2)+(5k +2)2k 2 =−20k+8k +(5k+2)∗4k+(5k+2)2k 2=(5k+2)2k 2．∵ C(1, 2)，∴ CA →=(x 1−1,y 1−2)，CB →=(x 2−1,y 2−2)，则CA →∗CB →=(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2−2(y 1+y 2)+4=(5k+2)2k 2−10k 2+4k+4k 2−20k+8k −8k +4=0， 当AB 所在直线斜率不存在时，直线方程为x =5，联立{x =5y 2=4x，可得A(5, −2√5)，B(5, 2√5)， CA →=(4,−2√5−2)，CB →=(4,2√5−2)，有CA →∗CB →=0，∴ CA ⊥CB ，又D 为线段AB 的中点，∴ |AB|=2|CD|．【考点】椭圆的定义【解析】（1）由题意方程求出右焦点坐标，即抛物线焦点坐标，进一步可得抛物线方程； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得|y 1−y 2|，代入三角形面积公式，利用二次函数求最值；（3）分直线AB 的斜率存在与不存在，证明有CA →∗CB →=0，可得CA ⊥CB ，又D 为线段AB 的中点，则|AB|=2|CD|．【解答】由椭圆x 210+y 29=1，得a 2=10，b 2=9，则c =1． ∴ 椭圆x 210+y 29=1的右焦点，即抛物线Γ：y 2=2px 的焦点为(1, 0)，则p 2=1，p =2，∴ Γ的方程为y 2=4x ；设直线l:x =my +2，联立{x =my +2y 2=4x，得y 2−4my −8=0． 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8．∴ S △OAB =12×2×|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16m 2+32=4√m 2+2≥4√2，即△OAB 的面积的最小值为4√2；证明：当AB 所在直线斜率存在时，设直线方程为y +2=k(x −5)，即y =kx −5k −2．联立{y =kx −5k −2y 2=4x，可得ky 2−4y −20k −8=0． y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−20k+8k ． x 1+x 2=y 1+y 2+10k+4k =10k 2+4k+4k 2． x 1x 2=(y 1+5k +2)(y 2+5k +2)k 2=y 1y 2+(5k +2)(y 1+y 2)+(5k +2)2k 2=−20k+8k +(5k+2)∗4k+(5k+2)2k 2=(5k+2)2k 2．∵ C(1, 2)，∴ CA →=(x 1−1,y 1−2)，CB →=(x 2−1,y 2−2)，则CA →∗CB →=(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2−2(y 1+y 2)+4=(5k+2)2k 2−10k 2+4k+4k 2−20k+8k −8k +4=0， 当AB 所在直线斜率不存在时，直线方程为x =5，联立{x =5y 2=4x，可得A(5, −2√5)，B(5, 2√5)， CA →=(4,−2√5−2)，CB →=(4,2√5−2)，有CA →∗CB →=0，∴ CA ⊥CB ，又D 为线段AB 的中点，∴ |AB|=2|CD|．对于函数y =f(x)(x ∈D)，如果存在实数a 、b （a ≠0，且a =1，b =0不同时成立），使得f(x)=f(ax +b)对x ∈D 恒成立，则称函数f(x)为“(a, b)映像函数”． （1）判断函数f(x)=x 2−2是否是“(a, b)映像函数”，如果是，请求出相应的a 、b 的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y =f(x)是定义在[0, +∞)上的“(2, 1)映像函数”，且当x ∈[0, 1)时，f(x)=2x ，求函数y =f(x)(x ∈[3, 7)）的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{a n }，使得当x ∈[a n , a n+1)(n ∈N ∗)时，2x +1∈[a n+1, a n+2)，并求x ∈[a n , a n+1)(n ∈N ∗)时，函数y =f(x)的解析式，及y =f(x)(x ∈[0, +∞)）的值域．【答案】由f(x)=x 2−2，可得f(ax +b)=(ax +b)2−2=a 2x 2+2abx +b 2−2， 由f(x)=f(ax +b)，得x 2−2=a 2x 2+2abx +b 2−2，则{a 2=12ab =0b 2−2=−2，∵ a ≠0，且a =1，b =0不同时成立， ∴ a =−1，b =0．∴ 函数f(x)=x 2−2是“(−1, 0)映像函数”；∵ 函数y =f(x)是定义在[0, +∞)上的“(2, 1)映像函数”，∴ f(x)=f(2x +1)，则f(0)=f(1)=f(3)，f(1)=f(3)=f(7)，∴ f(0)=f(3)，f(1)=f(7)，而当x ∈[0, 1)时，f(x)=2x ，∴ x ∈[3, 7)时，设f(x)=2sx+t ，由{3s +t =07s +t =1，解得s =14，t =−34． ∴ x ∈[3, 7)时，f(x)=214(x−3)．令y =214(x−3)(3≤x <7)，得14(x −3)=log 2y ，∴ x =log 2y 4+3(1≤y <2)，∴ 函数y =f(x)(x ∈[3, 7)）的反函数为y =log 2x 4+3(1≤x <2)；由（2）可知，构造数列{a n }，满足a 1=0，a n+1=2a n +1，则a n+1+1=2(a n +1)，∴ 数列{a n +1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则a n +1=2n−1，即a n =2n−1−1．当x ∈[a n , a n+1)=[2n−1−1, 2n −1)．令{(2n−1−1)s +t =0(2n −1)s +t =1，解得s =21−n ，t =21−n −1． ∴ x ∈[a n , a n+1)(n ∈N ∗)时，函数y =f(x)的解析式为f(x)=221−n x+21−n −1． 当x ∈[0, +∞)时，函数f(x)的值域为[1, 2)．【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）直接由题意列关于a ，b 的方程组，求解得答案；（2）由题意可得f(0)=f(3)，f(1)=f(7)，而当x ∈[0, 1)时，f(x)=2x ，则x ∈[3, 7)时，设f(x)=2sx+t ，可得{3s +t =07s +t =1，求得s ，t 的值，则函数解析式可求，把x用含有y 的代数式表示，把x ，y 互换可得y =f(x)(x ∈[3, 7)）的反函数； （3）由（2）可知，构造数列{a n }，满足a 1=0，a n+1=2a n +1，可得数列{a n +1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得a n =2n−1−1．当x ∈[a n , a n+1)=[2n−1−1, 2n−1)，令{(2n−1−1)s +t =0(2n −1)s +t =1 ，解得s =21−n ，t =21−n −1，可得x ∈[a n , a n+1)(n ∈N ∗)时，函数y =f(x)的解析式为f(x)=221−n x+21−n −1，并求得x ∈[0, +∞)时，函数f(x)的值域为[1, 2)．【解答】 由f(x)=x 2−2，可得f(ax +b)=(ax +b)2−2=a 2x 2+2abx +b 2−2， 由f(x)=f(ax +b)，得x 2−2=a 2x 2+2abx +b 2−2，则{a 2=12ab =0b 2−2=−2，∵ a ≠0，且a =1，b =0不同时成立， ∴ a =−1，b =0．∴ 函数f(x)=x 2−2是“(−1, 0)映像函数”；∵ 函数y =f(x)是定义在[0, +∞)上的“(2, 1)映像函数”，∴ f(x)=f(2x +1)，则f(0)=f(1)=f(3)，f(1)=f(3)=f(7)， ∴ f(0)=f(3)，f(1)=f(7)，而当x ∈[0, 1)时，f(x)=2x ，∴ x ∈[3, 7)时，设f(x)=2sx+t ，由{3s +t =07s +t =1，解得s =14，t =−34． ∴ x ∈[3, 7)时，f(x)=214(x−3)．令y =214(x−3)(3≤x <7)，得14(x −3)=log 2y ，∴ x =log 2y 4+3(1≤y <2)，∴ 函数y =f(x)(x ∈[3, 7)）的反函数为y =log 2x 4+3(1≤x <2)； 由（2）可知，构造数列{a n }，满足a 1=0，a n+1=2a n +1，则a n+1+1=2(a n +1)，∴ 数列{a n +1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则a n +1=2n−1，即a n =2n−1−1．当x ∈[a n , a n+1)=[2n−1−1, 2n −1)．令{(2n−1−1)s +t =0(2n −1)s +t =1，解得s =21−n ，t =21−n −1． ∴ x ∈[a n , a n+1)(n ∈N ∗)时，函数y =f(x)的解析式为f(x)=221−n x+21−n −1．当x ∈[0, +∞)时，函数f(x)的值域为[1, 2)．。