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2018年上海市宝山区高考数学一模试卷和参考答案

上海市宝山区2017—2018学年高三第一学期期末测试卷数学2017.12考生注意:1. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚, 并在规定的区域内贴上条形码.2. 本试卷共有23道试题, 满分150分. 考试时间20分钟.一. 填空题(本大题满分54分)本大题有14题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 每个空格填对得4分, 否则一律得零分. 1. 设集合{}{}234120123A B ==,,,,,,,, 则A B =I ________.2. 57lim57n n nnn-=+________.3. 函数22cos (3)1y x p =-的最小正周期为________.4. 不等式211x x +>+的解集为________. 5. 若23iz i-+=(其中i 为虚数单位), 则Imz =________. 6. 若从五个数10123-,,,,中任选一个数m , 则使得函数2()(1)1f x m x =-+在R 上单调递增的概率为________. (结果用最简分数表示)7. 在23(n x +的二项展开式中, 所有项的二项式系数之和为1024, 则常数项的值等于________.8. 半径为4的圆内接三角形ABC 的面积是116, 角A B C 、、所对应的边依次为a b c 、、, 则abc 的值为________.9. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点, 双曲线22125144x y -=的右焦点是C 的焦点F . 若斜率为1-, 且过F 的直线与C 交于A B ,两点, 则A B =________. 10. 直角坐标系xOy 内有点(21)P --,, (02)Q -,将POQ D 绕x 轴旋转一周, 则所得几何体的体积为________.11. 给出函数2()g x x bx =-+, 2()4h x mx x =-+-, 这里b m x R Î,,, 若不等式()10g x b ++?(x R Î)恒成立, ()4h x +为奇函数, 且函数(),()(),g x x f x h x x tt ìïï=í>£ïïî, 恰有两个零点, 则实数t 的取值范围为________.12. 若n (3n ³, n *Î¥)个不同的点111()Q a b ,, 222()Q a b ,, L , ()n n n Q a b ,满足: 12n a a a <<<L , 则称点12n Q Q Q L ,,,按横序排列. 设四个实数123k x x x ,,,使得2231322()2k x x x x -,,成等差数列, 且两函数2y x =, 13y x=+图象的所有交点111()P x y ,, 222()P x y ,, 333()P x y ,按横序排列, 则实数k 的值为________.二. 选择题(本大题满分20分)本大题共有4题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑, 选对得5分, 否则一律得零分.13. 关于x y ,的二元一次方程组341310x y x y ì?=ïíï-=ïî的增广矩阵为( ) A. 3411310骣-÷ç÷ç÷ç÷-÷ç桫 B. 3411310骣÷ç÷ç÷ç÷--÷ç桫 C. 3411310骣÷ç÷ç÷ç÷-÷ç桫 D. 3411310骣÷ç÷ç÷ç÷ç桫14. 设1234P P P P ,,,为空间中的四个不同点, 则“1234P P P P ,,,中有三点在同一条直线 上”是“1234P P P P ,,,在同一个平面上”的( ) A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15. 若函数(2)y f x =-的图象与函数3log 2y =+的图象关于直线y x =对称, 则()f x =( )A. 223x -B. 213x -C. 23xD. 213x +16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积. 设: 数列甲: 125x x x L ,,,为递增数列, 且i x N *Î(125i =L ,,,); 数列乙: 12345y y y y y ,,,,满足{1,1}i y ?(125i =L ,,,).则在甲、乙的所有内积中( )A. 当且仅当1234513579x x x x x =====,,,,时, 存在16个不同的整数, 它们同为奇数;B. 当且仅当12345246810x x x x x =====,,,,时, 存在16个不同的整数, 它们同为偶数;C. 不存在16个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数;D. 存在16个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数.三. 解答题(本大题满分76分)本大题共5题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤17. (本题满分14分)本题共有2个小题, 第1题满分6分, 第2题满分8分.如图, 在长方体1111A BCD A B C D -中,已知4AB BC ==, 18DD =, M 为棱11C D 的中点. (1)求四棱锥M ABCD -的体积;(2)求直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值.18. (本题满分14分)本题共有2个小题, 第1题满分6分, 第2题满分8分 已知函数2()12sin 2x f x =-. (1)求()f x 在322p p轾犏犏臌,上的单调递减区间;(2)设ABC D 的内角A B C ,,所对应的边依次为a b c ,,, 若111112c a b ----且1()2f C =,求ABC D 面积的最大值, 并指出此时ABC D 为何种类型的三角形.19. (本题满分14分)本题共有2个小题, 第1题满分6分, 第2题满分8分. 设数列{}{}n n a b ,及函数()f x (x R Î), ()n n b f a =(n N *Î).(1)若等比数列{}n a 满足1213a a ==,, ()2f x x =, 求数列{}1n n b b +的前n (n N *Î)项和;(2)已知等差数列{}n a 满足1224()(1)x a a f x q l ===+,,(q l 、均为常数, 0q >, 且1q ¹), 123()n n c n b b b =+++++L (n N *Î). 试求实数对()q l ,, 使得{}n c 成等比数列.20. (本题满分16分)本题共有3个小题, 第1题满分4分, 第2题满分6分, 第3题满分6分. 设椭圆C :22221x y ab+=(0a b >>)过点(20)-,, 且直线510x y -+=过C 的左焦点. (1)求C 的方程;(2)设()x 为C 上的任一点, 记动点()x y ,的轨迹为G , G 与x 轴的负半轴, y 轴的正半轴分别交于点G H ,, C 的短轴端点关于直线y x =的对称点分别为12F F ,. 当点P 在直线GH 上运动时, 求12PF PF ×uuu r uuu r的最小值;(3)如图, 直线l 经过C 的右焦点F , 并交C 于A B ,两点, 且A , B 在直线4x =上的射影依次为D , E . 当l 绕F 转动时, 直线AE 与BD 是否相交于定点?若是, 求出定点的坐标; 否则, 请说明理由.21. (本题满分18分)本题共有3个小题, 第1题满分4分, 第2题满分6分, 第3题满分8分.设z C Î, 且,Re 0(),Re 0z z f z z z ì锍ï=íï-<ïî.(1)已知2()()429f z f z z i +-=-+(z C Î), 求z 的值; (2)设z (z C Î)与Re z 均不为零, 且21n z ?(n N *Î). 若存在0k N *Î, 使得()()1()2()k k f z f z +?, 求证: 1()2()f z f z +?; (3)若1z u =(u C Î), 1n z f +=2(nz n z +1)+(n N *Î). 是否存在u , 使得数列12z z L ,,满足n m n z z +=(m 为常数, 且m N *Î)对一切正整数n 均成立?若存在, 试求出所有的u ; 若不存在, 请说明理由.2018年宝山区高三一模数学参考答案第一部分、填选 第二部分、简答题17. 解: (1)因为长方体1111A BCD A B C D -, 所以点M 到平面ABCD 的距离就是18DD =, 故四棱锥M ABCD -的体积为M A BCD V -=11128=33A BCD S DD 鬃. (2)(如图)联结1BC , BM , 因为长方体1111AB CD A BCD -, 且11M C D Î,所以1MC ^平面11BCC B , 故直线BM 与平面11BCC B 所成角就是1MBC Ð,在1R t MBC D 中, 由已知可得111122MC C D ==, 1BC ==,因此, 11110MC tan MBC BC ?==, 即直线BM 与平面11BCC B所成角的正切值为10.18. 解: (1)由题意可得()f x cosx =, 故()f x 在322p p轾犏犏臌,上的单调递减区间为2p p 轾犏犏臌,. 123 4 5 6 {}23, 1-13(1-+?,2257 8 9 10 11 12405 1 104 4p[20)-+?U,, 1 13 14 15 16 CACD(2)由已知可得4a b +=, Q 1()2f C =, \12cosC =, 又(0)C p Î,, \3C p=. 故A BC S D 12absinC=4=2()42a b +=, 当2a b ==时取等号, 即ABC D 面积此时ABC D 是边长为2的正三角形.19. 解: (1)由已知可得13n n a -=(n N *Î), 故123n n b -=?(n N *Î), 所以1n n b b +2143n -=?(n N *Î), 从而{}1n n b b +是以12为首项, 9为公比的等比数列, 故数列{}1n n b b +的前n 项和为3(91)2n-(n N *Î). (2)依题意得2n a n =(*n N Î), 所以n b 2(1)n q l =+(*n N Î), 故n c 222223(1)11n q q n q q q l l l =+++---(n N *Î), 令2230110q q l l ìïï+=ïïí-ïï+=ïïî,解得12q l ì?-ïïíï=ïïïî(02q =-<舍去), 因此, 存在()(1)2q l =-,,, 使得数列{}n c 成等比数列, 且33()4n n c =?(*n N Î).20. 解: (1)依题意可得2a =, 半焦距1c =, 从而2223b a c =-=, 因此, 椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)因为点()x 在C 上,所以22)143x +=, 故轨迹G : 2214x y +=.不妨设1(0)F -, 20)F , ()P x y ,,则1()PF x y =---uuu r ,, 2)PF x y =-uuu r,. 易得直线GH : 220x y -+=, 故22123PF PF x y ?+-u u u r u u u r 24115()55y =--, 所以当45y =, 即点P 的坐标为24()55-,时, 12PF PF ×uuu r uuu r 取得最小值115-. (或这样: 因为点P 在直线GH 上运动, 所以当OP GH ^时, , 故22x y +也取得最小值, 此时()22245minx y +==, 易得对应点为垂足24()55P -,, 从而, 12PF PF ×uuu r uuu r的最小值为()12411355minPF PF ?-=-uuu r uuu r . ) (3)易得(10)F ,, 设l : 1x my =+(m R Î), A 11()x y ,, B 22()x y ,, 则1(4)D y ,,2(4)E y ,,由221431x y x my ìïï+=ïíïï=+ïïî得22(34)690m y my ++-=, 显然2144(1)0m D =+>, 且122634m y y m +=-+, 122934y y m =-+. 将111x my =+代入直线AE 的方程:1212(4)()()(4)x y y y y x --=--, 并化简可得121211211()2()5(3)0my y y y y y y x y my y 轾+++-+-+-=臌, 将122634m y y m +=-+,122934y y m =-+代入可得111222966()(2)5(3)0343434m m m y x y my y m m m ?-++-+-=+++, 即直线AE 的方程为221152(34)3()+(34)(3)02m y m x m my y 轾++-+-=犏臌, 因为1m y ,任意, 所以直线AE 过定点5(0)2,. 同理可得直线BD 也过定点5(0)2,.综上, 当l 绕F 转动时, 直线AE 与BD 相交于定点5(0)2,.21. 解: (1)设z a bi =+(a b R Î,), 则Rez a =. 若0a ³, 则()f z z =, 由已知条件可得329a bi i --=-+, a b R ÎQ ,, 239a b ì?=-ï\íï-=ïî, 解得23a b ì?ïíï=-ïî, 23z i \=-.若0a <, 则()f z =z -, 由已知条件可得7529a bi i --=-+, a b R ÎQ ,, \7259a b ì?=-ïíï-=ïî, 解得2795a b ìïï=ïïíïï=-ïïïî, 但0a <, 故2795a b ìïï=ïïíïï=-ïïïî舍去. 综上, 得23z i =-. (2)证明如下: 令()()1()()nn nt f z f z =+, 则1n n nt z z=+(n N *Î).假设1()2()f z f z +>, 即12t >, 因21n z ?(n N *Î), 故n t 0>(n N *Î),于是12n t +11n t t +<?1111n n z z zz ++=+?2211n n n n z z z z ++骣骣鼢珑=+++鼢珑鼢珑鼢桫桫2211nn nn z z z z ++?++2n n t t +=+, 即122n n n t t t ++<+(n N *Î), 亦即121n n n n t t t t +++-<-, 故数列{}1n n t t +-单调递增. 又1t 2>, 故2221t z z =+212z z 骣÷ç=+-÷ç÷ç÷桫212zz?-2112t t =->, 即21t t >, 于是, 11210n n n n t t t t t t +-->->>->L . 所以, 对任意的n N *Î, 均有12n t t ?, 与题设条件矛盾. 因此, 假设不成立, 即1()2()f z f z +?成立. (3)设存在u C Î满足题设要求, 令n n n na Rezb Imz ==,(n N *Î). 易得对一切n N *Î, 均有0n a ³, 且22111(21)n n n n n n n a a a b b a b ++ìï=++-ïíï=+ïî(※).(i)若{}u i i ?,, 则{}n z 显然为常数数列, 故u i =?满足题设要求.(ⅱ)若{}u i i ?,, 则用数学归纳法可证: 对任意n N *Î, ()n n a b Ï,{}(01)(01)-,,,. 证明: 当1n =时, 由{}u i i ?,, 可知{}11()(01)(01)a b ?,,,,. 假设当n k =时, {}()(01)(01)k k a b ?,,,,. 那么, 当1n k =+时,若11()k k a b ++Î,{}(01)(01)-,,,, 则10k a +=, 11k b +=. 故2210k k k a a b ++-=,(21)1k k a b +=. (※※)如果0k a =, 那么由()k k a b Ï,{}(01)(01)-,,,可知1k b ¹, 这与(※※)矛盾.如果0k a >, 那么由(※※)得2211kk k b a a =++>, 即1k b >, 故211k k a b +?,与(※※)矛盾. 因此, 11()k k a b ++Ï,{}(01)(01)-,,,. 综上可得, 对任意n N *Î, ()n n a b Ï,{}(01)(01)-,,,. 记222n n n x a b =+(n N *Î), 注意到1n n x x +-222211(2)(2)n n n n a b a b ++=+-+222222()2(1)0n n n n n a a a a b 轾=++++-?犏臌, 即10n n x x +-?, 当且仅当201n na b ì=ïïíï=ïî, 亦即{}()(01)(01)n n a b ?,,,,时等号成立. 于是, 有1n n x x +<(n N *Î), 进而对任意m , n N *Î, 均有n m n x x +>, 所以n m n z z +¹. 从而, 此时的u {}i i ?,不满足要求.综上, 存在u i =?, 使得数列12z z L ,,满足n m n z z +=(m 为常数, 且m N *Î)对一切n N *Î成立.。

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