角来表示）。
解：(2)在Rt ABC中，| AB | 2,| BC | 2 3
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3)2
4 tan CAB 2 3 3
2
CAB 60 .
A
B
答2：02X船/7/7实际航行速度为4k高m一/、h一,方科数向学与专用水课件的流速间的夹角为60º。
b a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
C
ab
O
b
B
平行四边形法则
尝试练习二：
(3)已知向量 a、b，用向量加法的三角形法则和平行四边形
法则作出 a b
①
b
②
b
a
a
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a,b R ，
有
a b b a,
(a b) c a (b c).
当向量a、b不共线时有 | a b || a | | b |
综合以上探究我们可得结论：
202X/7/7
| a b || a | | b |
高一、一科数学专用课件
引入2： 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向
伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同
方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、 F2之间的关系如何？
(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向 量202可X/7以/7 在不改变它的大小高一和、一方科向数学的专用前课件提下,移到任何位置.)
引入1： 香港
上海 台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
向量加法的三角形法则：
a
C
ab b
A
a
首首 尾尾 相连 接
b
B
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量向量?
1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所
指方向表示向量的方向。
A
B
2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终
点字母表示.
如 a , AB
3. 什么叫相等向量向量?
长度相等,方向相同的向量相等.
作法1：在平面内任取一点O，
作 OA a ，AB b ，
b
则 OB a b
a
A
b
a
B
O
ab
三角形法则
思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形
法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？
a
a
b
（1）
A
B
C
ab
b
（2）
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
C
起
点
相
同
O
a
A
文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行 四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是 和向量。
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
作 OA a ，OB b ，
以OA、OB为邻边作 OACB
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？
请画图进行探索。
D
B
b
a ab
O
a
ab ba
202X/7/7
C abc
c
bc
b
A
A
ab
a
C
b
(a b) c a (b c).
高一、一科数学专用课件
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
向量的减法运算及其几何意义
回顾：（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数 a 的相反数记作 a 。
： 思考（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
如设 x, y R , x y x (y)
如何定义向量的减法运算呢？
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
若a，b方向相反，则 | a b || a | | b（| 或 | b | | a |）
规定：0 a a 0 a
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
当向量 a、b不共线时，和向量的长度| a b | 与向量 a、b的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
ab
b
a
三角形的两边之和大于第三边
向量加法、减法运算及 其几何意义
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高一、一科数学专用课件
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均气温
21.0 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8
27.7
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
知识回顾
1. 向量与数量有何区别?
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
a 的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
规定： 0的相反向量仍是 0。
（1） (a) a
（2） a (a) 0 (a) a 0 （3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b, b a, a b 0
二、向量的减法：a b a (b)
A
bd
a
C
c
O
在平面内任取一点O，作 OA a, OB b, OC c, OD d ,
则 BA a b DC c d
注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
练习：已知向量 a, b，求作向量 a b 。
（1） a
（2）
ab
bபைடு நூலகம்
a
b
ab
（3）
a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
BC CD _B__D__
C AB BC CD _A__D__
A
AB BC CD DE _A__E__
B
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
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ab a
b
（4）
高一、一科数学专用课件
a
ab
b
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b,
D
C
你能用 a, b表示 AC, DB 吗？ b
AC a b DB a b
A
aB
变式一 本例中，当
a满,足b什么条件时，
a 与b
互a相垂b 直？ a b
变式二 本例中，当 a满, b足什么条件时，
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
设 AB b, AC a
B ab
AE a (b) a b
又 b BC a 所以 BC a b
bAa
C
ab
b
D
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
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高一、一科数学专用课件
(b2) aBA
a b 呢？
BC
CA
(3)
a
BC
OA
BbAOABC
(4) OD OA AD
OA
B
a b BA (5) OA OB BA
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B O 高一、一科数学专用课件
A
例3 已知向量 a, b, c, d ，求作向量 a b ，c d 。
ab
cd
bd a
c
作法：
BD
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例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
M EO
图1
M
202X/7/7
EO 图2
F1
F1
C
F
F2
F2
F
F=F1+F2
高一、一科数学专用课件
向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
C
起
点
相
同
O
a
A
以同一点O为起点的两个已知向量 a、b为邻边作 OACB, 则以O为起点的对角线OC就是a与b的和a b,即
a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
D
C
解：
A
B
（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，
以AD、AB为邻边作 ABCD,则AC表示