求低通原型 Ω������������ = ������1 cot
求阶次 N ε= N≥ ������������������������������
1 ε
100.1������ 1 − 1 = 100.1������ 2 − 1
٠������������ ٠������
100.3 − 1 = 1 ������������������������������4.91 2.27 = = 1.97 ������������������������������1.89 1.25
100.3 − 1 = 1
求N N≥ ������������������������������ 100.1������ 2 − 1
٠������ ٠������
������������������������������
=
������������������������������ ������������������������������
������������������������������
=
则 N=2，系统函数（因为Ω������ 为 1，故系统函数即原型函数） 0.50 + 0.64������ + 0.71
得到结果 bz = 0.0009 0.0019 az = 1.0000 -1.9114 0.9152 0.0009
bz 为分母，az 为分子，从左到右分别为 1、负一次方、负二次方。
验证表示结果正确。
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 -60 0.1 0 -70
DB值
代入求得数值 ������������ ������ = 632.02 ������ 2 + 32.45������ + 632.02
这样便得到了模拟滤波器的函数，利用双线性变换的公式转换到数字域 s= 2 1 − ������ −1 ������ 1 + ������ −1
得到数字域滤波器
������ ������ =
焦奥
根据双线性变换 Ω= 2 ������ tan⁡ ������ 2 得到 Ω������ = 25.14 Ω������ = 407.62 这就得到了模拟域的指标。 由巴特沃斯的方程 Α2 Ω = ������������ ������Ω
2
= 1+
1
٠٠������ 2������
20������������ ������������ ������Ω
Wc=203.81; b=[0 0 0.5*Wc^2];
a=[1 0.64*Wc 0.71*Wc^2]; [bz,az]=bilinear(b,a,200) w=[0:500]*pi/500; [H,w]=freqz(bz,az); f=200*w/(2*pi); subplot(121); plot(f,abs(H),'k'); xlabel('频率'); ylabel('幅值'); axis([0 50 0 1]); subplot(122); plot(f,20*log10(abs(H)),'k'); xlabel('频率'); ylabel('DB值'); axis([0 95 -50 1]); hold on plot([0 30],[-3 -3],'r'); hold on plot([30 30],[-180 -3],'r'); hold on text(30,-3,'30hz£¬3db'); text(40,-48,'90hz,´óÓÚ40db');
巴特沃斯低通、切比雪夫低通、高通 IIR 滤波器设计
05941401 1120141454
一、设计思路 IIR 滤波器可以分为低通、高通、带通、带阻等不同类型的滤波器，而以系统 函数类型又有巴特沃斯、切比雪夫等滤波器。其中巴特沃斯较为简单，切比雪夫 较为复杂；低阶比高阶简单，但却有着不够良好的滤波特性。在满足特定的指标 最低要求下，低阶、巴特沃斯滤波器能更大程度地节省运算量以及复杂程度。 滤波器在不同域内分为数字域和模拟域。其中数字域运用最广泛。在设计过 程中，一般是导出模拟域的滤波器，之后通过频率转换变为数字域滤波器，实现 模拟域到数字域的传递。在针对高通、带通、带阻的滤波器上，可以又低通到他 们的变换公式来进行较为方便的转换。 综上， IIR 滤波器的设计思路是， 先得到一个满足指标的尽可能简单的低通模 拟滤波器，之后用频域变换转换到数字域。 转换方法有双线性变换法、冲激响应不变法等。虽然方法不同，但具体过程 有很多相似之处。 首先将数字滤波器的指标转换为模拟滤波器的指标，之后根据 指标设计模拟滤波器， 再通过变换， 将模拟滤波器变换为数字滤波器， 是设计 IIR 滤波器的最基本框架。 以下先讨论较为简单的巴特沃斯低通滤波器。 二、巴特沃斯低通滤波 假设需要一个指标为 0~4hz 内衰减小于 3db、大于 60hz 时衰减不小于 30db 的滤波器。其中抽样频率为 400hz。 以双线性变换方法来设计。 首先将滤波器转换到模拟指标。 1 T = 1 ������ = ������ 400 Ω������ ′ = 2������������ ������ = 8������ ������������ = Ω������ ′������ = 0.02������ Ω������ ′ = 2������������ ������ = 120������ ������������ = Ω������ ′������ = 0.3������
0.0859
0.1719 az =
0.0859
1.0000
-1.0801
0.5682
数值正确。 以下设计切比雪夫高通滤波器 四、切比雪夫高通滤波器 求高通滤波器的常用方法是模拟低通转化为数字高通。 指标：通带截止频率 3khz，衰减不大于 3db；阻带上限截止频率 2khz， 衰减不小于 14db。抽样频率 10khz。 1 T = 1 ������ = ������ 10������ Ω������ ′ = 2������������ ������ = 6������������ ������������ = Ω������ ′������ = 0.6������ Ω������ ′ = 2������������ ������ = 4������������ ������������ = Ω������ ′������ = 0.4������ 根据双线性变换，并令Ω������ = 1 ������1 = Ω������ tan ������������ = 1.38 2 ������������ = 1.89 2
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
DB值 幅值
0 30hz ， 3db -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 90hz, 大 于 40db 0 10 20 30 频率 40 50 -50 0 20 40 60 频率 80
满足指标要求。 bz =
0.00095 + 0.0019������ −1 + 0.00095������ −2 1 − 1.91������ −1 + 0.91������ −2 至此，设计完成。
接下来用 matlab 实现上述变换设计。
b=[0 0 632.02]; a=[1 35.45 632.02]; [bz,az]=bilinear(b,a,400) w=[0:500]*pi/500; [H,w]=freqz(bz,az); f=400*w/(2*pi); subplot(121); plot(f,abs(H),'k'); xlabel('频率'); ylabel('幅值'); axis([0 50 0 1]); subplot(122); plot(f,20*log10(abs(H)),'k'); xlabel('频率'); ylabel('DB值'); axis([0 100 -70 2]); holdon plot([0 4],[-3 -3],'r'); holdon plot([4 4],[-180 -3],'r'); hold on plot([60 60],[-180 -48.5],'b'); hold on plot([0 60],[-48.5 -48.5],'b'); plot([0 200],[-30 -30],'g'); text(6,-3,'6hz,3db'); text(60,-45,'60hz,大于30db'); text(60,-30,hz ， 3db -10
-20
-30
30db
幅值
-40 60hz, 大 于 30db -50
0
10
20 30 频率
40
50
0
50 频率
100
因为 N 取了 2，取为整数，大于计算的值，所以在 60hz 时，衰减超出指标。 以下讨论切比雪夫滤波器。 三、切比雪夫滤波器 切比雪夫滤波器是另一种滤波器，使用较为广泛的是低通滤波器，也能够通 过变换转化为其他滤波类型的滤波器。 以下设计切比雪夫低通滤波器，仍用双线性变换法。频率脉冲响应法与双线 性变换法的区别仅仅在于两个域的转换方面，在设计模拟滤波器的方面，是没有 影响的。频率脉冲法计算更加复杂，而且有混叠效应；双线性法通过预畸减小了 误差，并且没有混叠。 给出指标： 0~30hz 内衰减小于 3db、 大于 90hz 时衰减不小于 40db 的滤波器。 其中抽样频率为 200hz。 1 T = 1 ������ = ������ 200 Ω������ ′ = 2������������ ������ = 60������ ������������ = Ω������ ′������ = 0.3������ Ω������ ′ = 2������������ ������ = 180������