（7-1）
等熵流动中，流体是正压的，即密度只是压强的 函数 或 ；又由于音 速 ，因此
（7-2） 将式（7-2）代入(7-1)得到 （7-3）
定常的欧拉方程为 （7-4） 将式（7-4）中的 代入式（7-3），得到
上式展开为
（7-5） 无旋则存在速度位 满足的方程
，
且满足
将之代入（7-5），得到可压位流的速度位
前面已经指出，对绕过薄翼型的亚音速流动， 在小扰动条件下，其扰动速度位满足线性的二 阶偏微分方程（7-11）及边界条件（7-24）。 当解得扰动速度位后，代入式（7-18），就可 以算得翼型表面任一点的压强系数，通过积分 就可求得其气动特性如升力、俯仰力矩等。
比较亚音速流的控制方程（7-11）和不可压流的控制方程， 即拉普拉斯方程，可以发现两者仅相差一个常数因子 ；因 此数学上可通过适当的坐标变换，将线性方程（7-11）化为 拉普拉斯方程，并将边界条件和压强系数进行相应的变换， 从而建立亚音速流场和不可压流场之间的联系，把亚音速流 问题的求解转化为不可压流问题的求解。
由于压强系数和扰动速度位的 向偏导数 成正 比，不可压流中翼型对气流的扰动，可认为是由 翼型的厚度、弯度和迎角三者所引起扰动的叠加； 而扰动的大小，显然和翼型的厚度、弯度及迎角 的大小成正比（参见第五章薄翼型理论）。根据 这样的原理，（7-29）对应的关系还可再变一下。 将图 7-6 的不可压流翼型的厚度、弯度和迎角， 分别放大 倍，其所引起的扰动速度 也将放大 倍，随之相应的压强系数也必放大 倍，
即 （7-30） 将（7-30）代入（7-29），得到 （7-31） （7-31）表明，流过具有相同厚度和弯度的翼型，在 相同的迎角下，亚音速流的压强系数只要将不可压流 中对应点上的压强系数简单地乘以 就行了（ ）。 换算关系（7-31）称为普朗特-葛劳渥法则，称为亚音 速压缩性修正因子。
7.3.4 翼型的亚音速气动特性
图 7-1 薄翼型对直匀流的扰动 (a) 直匀流 (b) 有扰动的流动
物体的存在会对流场产生扰动，其速度分量记为 、 、 。所谓小扰动，是指这些扰动速度分 量与来流 相比都很小，即
、
、
7.2.1 速度位方程的线化
当大小为 的直匀流流过物体（如机翼）时，流 场上各点的扰动速度分量为 , , ,流场各点 合速度的分量则为 , , ,将它们代 入式（7-6），同时式中的 通过能量方程也可 用 和扰动速度来表示：
如图 7-2，设和分别表示物面上任一点的气流的合 速度和物面的单位法向矢量，则
（7-20） 以下考虑机翼中弧线板上物面边界条件的线化， 记中弧线板的外法线与坐标轴夹角的余弦分别为 ，合速度的分量分别为 由式（7-20）可得
、 、 、 ，
、
（7-21）
图 7-2 物面边界条件推导用图
设中弧线方程为
此外
为了简单起见，以下小扰动速度上的“‘”号一 律省略，经过整理，速度位方程（7-6）变为
（7-7）
将上式右边各方括号中微量高于一次的项略 去，得到

（7-8）
又假设
不太接近于1，即流动不是跨音速流， 这样 不是微量；进一步假设 不是很大， 即流动不是高超音速流。这样式（7-8）的左边 各项是同一数量级的，与右边各项相比多乘了 一个微量，可以略去。（7-8）成为 （7-9）
由压强系数的定义
（7-13） 式中的当地压强 ,可通过能量方程把它与当地 合速度 联系起来：
利用
及
代入，上式成为
（7-14） 将之代入式（7-13）得 （7-15）
代入合速度上式写成 （7-16）
可以看到，计算压强系数的公式（7-16）是一个包 含速度平方的复杂公式。假设流动是小扰动，将上 式方括号项按多项式展开，仅保留到 , ,
二次微量，得到 （7-17）
对于薄翼,若只取一次近似, （7-18）
上式就是小扰动假设下线化的压强系数计算公式。 对于旋成体，在零迎角下，在子午面内，径向速度 ，式(7-17)变为
（7-19）
7.2.3 边界条件的线化
边界条件包括远方边界条件和物面边界条件。 远方边界条件就是扰动速度为零。
下面导出小扰动假设下线化的物面边界条件。 定常理想流体的物面边界条件是物面上任一点的 合速度与物面相切，或者说，合速度在物面法线 方向的分量为零。
7.3.1 边界条件的变换
将前方扰动速度必须为零的条件，经（725）变换后仍然满足。以下考虑翼面边界 条件的变换。 将（7-25）代入式（7-24）得到
若令 则
（7-26）
（7-27） 上式表明，采用（7-25）的变换和（7-26），可得到 与不可压流相同形式的边界条件。因此薄翼型亚音速 绕流问题——物面边界条件（7-24）下线化方程（711）的求解，变为相同形式边界条件下拉普拉斯方程 的求解，而后者正是在第五章中所研究过的低速翼型 的气动特性问题。
（7-38）
上式表明，亚音速流动中，对应不可压流中的 机翼的展弦比较亚音速流中机翼的展弦比小， 后掠角则较亚音速流中机翼的后掠角大，但根 梢比不变，如图 7-4 所示。
图 7-4 亚音速和对应不可压机翼平面形状之间的关系
7.4.2 亚音速薄机翼的升力和俯仰力 矩特性
亚音速机翼的升力和俯仰力矩特性，同样可从相 应不可压流中机翼的升力和俯仰力矩特性变换得 到。 对满足（7-38）的亚音速和相应不可压流机翼， 当具有形状相同的翼型，且迎角相同时,（7-34）、 (7-35)和（7-36）可分别写为 （7-39）
（7-35）
由于流过翼型的迎角相同，由式（7-34）
（7-36）
§ 7.4 亚音速薄机翼的气动特 M
性及
数对气动特性的影响

7.4.1 相应机翼形状之间的变换
对于机翼，由（7-25），及
（7-37） 可以在三维情况下将小扰动速度位满足的线性 方程变换成拉普拉斯方程，进而求得相应机翼 之间平面几何参数存在的关系：
（7-40） （7-41）
（7-41）还可写成下列形式
或
（7-42）
为仿射组合参数
和
的函数。
（7-39）、（7-40）表明，要计算亚音速流中机 翼的升力和俯仰力矩特性，只要计算其相应的不 可压流中机翼的升力和俯仰力矩特性。 （7-42）指出，只要 和 相同，一定平面形 状亚音速机翼的 值就相同。因此，如果把不同 的不同平面形状的无扭转对称翼型的机翼， 按 和 三个组合参数进行实验，并整理图线， 那么将提供任何平面形状机翼在亚音速流中的 值。例如，整理时可先固定一个参数（例如 ） 不变，就可得到
§7.2小扰动线化理论
• 速度位方程线化 • 压强系数线化 • 边界条件线化
飞行器或部件的空气动力学问题，大都是远前方 直匀来流受到物体的扰动问题。为了适应高速飞 行，需要减少阻力，因此机翼的相对厚度和弯度 都比较小，而且巡航阶段迎角也不大。因此机翼 对流场的扰动，除个别地方以外，总的来说是不 大的，如图7-1所示，这种扰动称为小扰动。现采 用风轴系，轴与远前方未受扰动的直匀流一致， 这样前方来流只在方向有一个速度分量 。
图 7-5 计算单独机翼升力系数图线
则
式中 和 分别表示迎角为 下亚音速流中 机翼和对应不可压流中机翼的平均气动弦长。将 上两式分别代入式（7-40），并利用式（7-39）， 得到相应的两机翼压力中心位置之间的关系为 （7-44）
式中 为压力中心位置的无量纲值： 。由于 无扭转对称翼型的机翼，其压力中心即是焦点。 这样，根据式（7-44），亚音速流中机翼的焦点 相对位置与相应不可压流中机翼的焦点相对位置 之间的关系亦为
（7-43） 的曲线，如图 7-5 横坐标左半边所示。换一个 值又得一组类似曲线，这样就可得到一套计算 亚音速流中机翼的图中机翼后掠角是用翼型的1/2 弦点连线的后掠角 来计算的。 设亚音速流中机翼的压力中心，距该机翼平均 气动弦前缘的X向距离为 对应不可压流中机翼的压力中心距机翼平均 气动弦前缘的 X向距离为
（7-6） 式中音速 可通过能量方程改写成速度的形式， 而速度又可用 表示，因此（7-6）是只包含一 个未知函数的方程，称为全速位方程；由于这 个二阶偏微分方程的系数是 的函数，所以 （7-6）是非线性的。同时不难看出，对不可压 流动（ ），（7-6）退化为拉普拉斯方程。
这样，绕物体的可压位流问题，转化为数学 上求解给定边界条件的偏微分方程（7-6）。 由于方程是非线性的，对于有实际意义的物 体形状（如机翼或机身等）的绕流问题，一 般无解析解，可采用如小扰动线化的近似解 法以及数值解法等方法求解。
升力是由压强分布的积分而得到的，而俯仰力矩 和升力只差一个 向的力臂；所以亚音速流中翼型 的升力系数 和俯仰力矩系数 ，等于不可压流的 相应值乘以
（7-32） （7-33）
由于线化理论范围内升力与翼型的厚度无关，且 高速飞机一般采用对称翼型（ ）的机翼，因此 其升力系数和俯仰力矩系数在亚音速时分别为： （7-34）
7.3.1 相应薄翼型之间的变换
以下讨论相应的不可压低速薄翼型与亚音速薄翼 型两者在几何参数之间的关系。
根据式（7-25），不可压流翼型的 坐标，为亚 音速翼型 坐标的 倍( )，故不可压流翼型的 几何参数 , 和迎角 ，与亚音速翼型相应的几 何参数 和迎角 之间，存在如下关系：
、
（7-28）
图 7-3 亚音速流翼型和相应不可压流翼型
（7-28）表明亚音速流动中，由于 ，对应的不可 压流翼型比亚音速翼型薄，弯度和迎角也较小，如 图 7-3 所示。
7.3.4 翼型上对应点压强系数之间 的关系
将式（7-25）和（7-26）代入式（7-18），得到
上式可写成 （7-29） 式中下标“
”
表示流动是亚音速流，
“0”表示流动是不可压流。
（7-29）表明，亚音速流动中翼型表面某点的压 强系数，等于相应不可压流中翼型表面对应点的 压强系数乘以 倍，对应点的位置由式（7-25） 确定。（7-29）只是一种换算法。为了计算亚音 速流中翼型的压强系数，由图 7-6 可见，问题归 结为计算对应不可压流中形状不同的翼型在不同 迎角下的压强系数。这给计算带来不便。实用中， 常对同一形状的翼型在相同迎角下，建立亚音速 流中的翼型和低速不可压流中的翼型上压强系数 之间的关系。这又是一种换算法。