平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。

注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。

（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是 （ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若b a 、都是单位向量，则||b a -的取值范围是 （） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（ ）A ．FE B.AC C DC D FC 4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求：向量AG ．5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++D A B C ab G·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为 。

【同步练习】1．在四边形ABCD 中，AB =a+2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形2.已知菱形ABCD ，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（ ）A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1)B.λ(AB +BC ),λ∈(0,22)C.λ(AB －AD ),λ∈(0,1)D.λ(BC AB -),λ∈(0,22) 3.已知两点()3,2M ，()5,5N --12MP MN =，则P 点坐标是 （ ） 4.已知△ABC 中，c AB b CA a BC ===,,，若a c c b b a ⋅=⋅=⋅，求证：△ABC 为正三角形.5.已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证OE OD OC OB OA 4=+++.第二课时 平面向量的线性运算【重要知识】知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b +＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA =，OB b =，以OA,OB 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和，记作a b +=OC 。

说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )知识点二：向量的减法（1）相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作-a 。

（2）①向量a 和-a 互为相反向量，即 –(-a ).②零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a ＋(-a )＝(-a )＋a ＝0．④如果向量,a b 互为相反向量，那么a ＝-b ，b ＝-a ，a ＋b ＝0．（3）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a -b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.（4）向量减法的几何作法在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-．即a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 说明：①AB 表示a b -.强调：差向量“箭头”指向被减数②用“相反向量”定义法作差向量，a -b = a + (-b )， 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：⑴|λa |＝|λ||a |⑵当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反． 当0λ=时，λa ＝0（2） 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设λ、μ为实数，那么 (λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa a ；λ(a ＋b )＝λa b ．知识点四：向量共线的条件向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa ．【典型例题】1. 下列各式正确的是（ ）A ．若a ，b 同向，则|a +b |=|a |+|b |B ．a b +与|a |+|b |表示的意义是相同的C ．若a ，b 不共线，则|a +b |＞|a |+|b |D ．a a b <+永远成立2．AO OB OC CA BO ++++等于（ ）A ．B ． 0C ．D ．3．下列命题①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同。

②△ABC 中，必有0 ③若0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点。

④若a ，b 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等。

其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则向量等于（ ）A ．a b c ++B ．a b c -+C ．a b c +-D ．a b c --5．在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则等于（ ）A ． a b c -+B ．()b a c -+C ．a b c ++D ．b a c -+6．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ）A ．a 与b 的长度必相等B ．a ∥bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的相反向量7．AC 可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④8.如图所示，在 ABCD 中，已知,AB a DB b ==，用a 与b 表示向量AD 、。

【同步练习】1.在以下各命题中，不正确的命题个数为（ ） ①|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件；②任一非零向量的方向都是惟一的；③|a -b |＜|a |+|b | ④若|a -b |=|a |+|b |，则0b =；⑤已知A 、B 、C 是平面上的任意三点，则0。

A ．1B ．2C ．3D ．42．某人先位移向量a ：“向东走3km”，接着再位移向量b ：“向北走3km”，则a b +（ ）A．向东南走km B．向东北走km C．向东南走km D．向东北走km3．若，则BC的取值范围是（）A．B．（3，8）C．D．（3，13）4．设ABCDEF为一正六边形，,AB m AE n==，则5．化简：第三课时平面向量的基本定理【重要知识】知识点一：平面向量基本定理 ⑴平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ使a =1122e e λλ+。

我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)运用定理时需注意：①1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量。

②该平面内的任一向量都可用1e ，2e 线性表示，且这种表示是唯一的。

③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。

知识点二：两向量的夹角与垂直（1） 定义：已知两个非零向量,a b ，作,OA a OB b ==,则∠AOB=θ叫做向量a b 与的夹角。