平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 22.下列各组向量，共线的是 ( )()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且⋅=⋅=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。

其中12,e e u r u u r叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ϖ，j ϖ作基底，则对任一向量a ϖ，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ϖϖϖ+=、就把_________叫做向量a ϖ的坐标，记作____________。

3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有：OM =________________，M 点的坐标为_____________．5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠ρρρρb b a ；坐标形式： _____________)0(//⇔≠ρρρρb b a ．6. a ϖ=（x,y ）,则=___________.与a ϖ共线的单位向量是：= 四．例题分析：例1.(1)、 已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P点的坐标为（ ）A （－14，16） （B ）（22，－11） （C ）（6，1） （D ） （2，4） (2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量同向的单位向量是 （ ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (D)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54(3)、若a r =（2，3），b r =（－4，7），则a r 在b r方向上的投影为____________。

例2．(1)已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+r r r r r，2v a b =-r r r ，且//u v r r ，求实数x 的值。

(2) 已知向量a =，1），b =（0，-1），c =（k 。

若a -2b 与c 共线，则k=______例3．已知(1,0),(2,1)a b==vv，（1）求|3|baϖϖ+；（2）当k为何实数时，k-aϖbϖ与baϖϖ3+平行，平行时它们是同向还是反向？例4．如图，平行四边形ABCD中，,E F分别是,BC DC的中点，G为交点，若ABuuu ra=r，= br，（1）试以ar，br为基底表示、BFu u u r；（2）求证：A、G、C三点共线。

例5. 如图，平行四边形ABCD中，BE=41BA，BF=51BD，求证：E，F，C三点共线。

（利用向量证明）五．课后作业：1．31(,sin),(cos,)23a bαα==r r且//a br r，则锐角α为 ( )CE F()A 30o ()B 60o ()C 45o ()D 75o2．平面内有三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x --，且∥，则x 的值是 （ ）()A 1 ()B 5 ()C 1- ()D 5-3．如果1e ,2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ）()A 若实数12,λλ使11220e e λλ+=u r u u r r，则 120λλ==()B 空间任一向量a 可以表示为1122a e e λλ=+r u r u u r，这里12,λλ是实数 ()C 对实数12,λλ，向量1122e e λλ+u r u u r不一定在平面α内()D 对平面内任一向量，使1122a e e λλ=+r u r u u r 的实数12,λλ有无数对4.下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③5.若A(-1,-2),B(4,8),且3-=,则C 点坐标为 ；6.已知)2,3(=，)1,2(-=，若b a b a λλ++与平行，则λ= ；7．已知向量(1,2)a =-r ，与方向相反，且||2||b a =r r，那么向量的坐标是_ _ 8．已知(5,4),(3,2)a b ==r r，则与23a b -r r 平行的单位向量的坐标为 。

9．已知(3,1),(1,2),(1,7)a b c =-=-=r r r ，求p a b c =++u r r r r ，并以,a b r r 为基底来表示p u r。

10.向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===u u u r u u u r u u u r,当k 为何值时，,,A B C 三点共线？平面向量的数量积一、教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．教学重点：平面向量数量积及其应用 二、课前预习：1．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-r r，如果向量a xb +r r 与b r 垂直，则x 的值为（ ）()A 323 ()B 233 ()C 2()D 25-2.下列命题正确的是 ___________①0AB BA +=u u u r u u u r r ； ②00AB ⋅=r u u u r r ； ③AB AC BC -=u u u r u u u r u u u r ； ④00AB ⋅=u u u r3．平面向量,a b r r 中，已知(4,3),||1a b =-=r r，且5a b ⋅=r r ，则向量b =r ___ __ ____. 4．已知向量,a b r r 的方向相同，且||3,||7a b ==r r ，则|2|a b -=r r___ ____。

5．已知向量a ρ和b ρ的夹角是120°，且2||=a ρ，5||=b ρ，则a b a ρρρ⋅-)2(= 。

三、知识归纳 1.平面向量的数量积：（1）定义:a ϖ·0,0__(__________ρρρρρ≠≠=b a b ，θ为a ϖ与b ϖ的夹角，)0πθ≤≤；特例：0ρ·0=a ρ，a ϖ2 =a ϖ·a ϖ=|a ϖ|2；()cos cos a b θθr r 叫做向量()a b b a r r r r在方向上在方向上的________________；注._________cos ==θθ（2）.坐标运算：若a ϖ=（1x ，1y ），b ϖ=（2x ，2y ）则a ϖ·b ϖ=______________．2.两个向量的夹角与长度已知向量a ϖ=（1x ，1y ），b ϖ=（2x ，2y ）（1）两个向量a ϖ与b ϖ的夹角θ：向量形式：θcos =__________________；坐标形式：θcos =__________________．注： 0.0cos ,2,0cos ,2;0cos ,20<⋅<<<=⋅==>⋅><<b a 即即即θπθπθπθθπθ⋅=⋅=⋅=⋅=,,0，即反向时，即同向时πθθ（2）向量a ϖ的长度|a ϖ|2=a ϖ2 =a ϖ·a ϖ=___________。

|a ϖ|=___________其中a ϖ=),(y x ；==+两点间的距离公式：|21P P |=___________________ 其中1P =（1x ，1y ），2P =（2x ，2y ）． 3.向量的平行、垂直如果，两个向量a ϖ=（1x ，1y ），b ϖ=（2x ，2y ）那么，（1）两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠ρρρρb b a ；坐标形式： _____________)0(//⇔≠ρρρρb b a ．（2）两个向量垂直的充要条件是：向量形式：a ϖ⊥b ϖ⇔____________；坐标形式：a ϖ⊥b ϖ⇔____________．四：例题分析：例1．已知平面上三个向量a ρ、b ρ、c ρ的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：)(b a ρρ-⊥c ρ；（2）若1||>+b a k ρρ)(R k ∈，求k 的取值范围.例2．已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若||52=，且//，求的坐标； （2）若|b |=,25且b a 2+与-2垂直，求a 与b 的夹角θ.例3．1.若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥c ，则A ．4B ．3C ．2D ．02.已知单位向量，的夹角为60°，则__________3.在正三角形中，是上的点，，则 。

4.已知向量满足，且，，则a 与b 的夹角为 .5.在边长为1的正三角形ABC 中, 设则__________________．例4.(1) 已知由向量AB =（3，2），AC =（1，k ）确定的△ABC 为直角三角形，求k 的值。

(2) 设OA =（3，1），OB =（－1，2），OC ⊥OB ，BC ∥OA ，试求满足 OD +OA =OC 的OD 的坐标（O 为原点）。