C
'
120
A
0
60

B
本节小结
再
见
1, 2 (3).同一向量在选择不同基底时，
例1.如图梯形ABCD中，AB / /CD，AB 2CD， E、F是DC，BA中点， AD a， AB b , 试以a , b 为基底表示 DC , BC , EF
O A

A

a 与 b 同向
0
B b
夹角的范围：00 ,1800

a 与 b 反向
180

90 记作 a b a 与 b 垂直，

B b a O A
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。 C
学生活动：
OC OM ON 1OA 2 OB
即
a 1 e1 2 e2
M
e1
A
e1
a
C
e2
向 量 的 分 解
O
N
e2
B
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知识点一
平面向量基本定理
1. 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量 a,
有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在
⑴ 若 a 0, 则有且只有 1 2 0,
则

（3）
设 e1e2 ,
1
a且
是平面内的一组基底，当 e e 0 1 1 2 2

2
=b
恒有1 2 0,
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思考1 平面内用来表示一个向量的基底有 多少组? （有无数组）
D
a
E
C
A
F b
B
知识点二、向量的夹角与垂直 : 两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
AOB OB b ,则
叫做向量 特别的： a
O b B

B
b

a和
b
O A a 注意:两向量必须 的夹角． 是同起点的
a
把不共线的向量 基底
a 1 e1 2 e2
一
叫做表示这一平面内所有向量的一组
ee
1
性
2
性
２.平面向量基本定理的几点说明
使a 1e1 2 e2 若 a 与 e1 (e2 ) 共线，则 2 0(1 0), 使a 1e1 2 e2 (2)定理的代数表达形式：若 e1e2 ,不共线， 1e1 2e 2 ae1 be 2
B
M
B
M
a
e1
a
A
x
O
O
e2
y
A
思考2、若基底选取不同, 则表示同一向量
M B M
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的实数1, 2是否相同? 可以相同,也可以不同
B
a
e1
x
A
a
O e2
m O
y n
Aa 3e1 2e23 a x 4y 2
a 3m 2n
知识小结：
(1).基底的选择是不唯一的； (2).同一向量在选定基底后， 1, 2 是唯一存在的 可能相同也可能不同
d 2e1 3e 2
e2 e1
d
向 量 的 合 成
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如：已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个
不共线向量，a 是这一平面内的任一向量． ♦ 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系
e1
想 一 想 ？
a
e2
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平面向量基本定理
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复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能 否作出向量2e1 3e2 ?
一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: （思考：为什么限定 a 0 ？） 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个 实数 , 使b a. (若a 0,当b 0时，不唯一；当b 0时，不存在）