C B
作法： 1、任取一点O作OA = -2.5 e1 OB = 3 e2 2、以OA,OB为邻边作 OACB 3、OC为所求
A
-2.5 e1
o
例2. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交 于M，设 AB a ， AD b ，试用基底{a，b} 表示 MA, MB任意两点，O是l外一点， 求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使 OP 关于基底{ OA, OB }的分解式为
a1e1+a2e2=xe1+ye2, (x－a1)e1+(y－a2)e2=0
N
A
e2 O e1
M
我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内 所有向量的一组基底，记为{e1，e2}， a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的
分解式。
例1 已知：向量 e1 ，e2
e1 e2
求作：向量 -2.5 e1 + 3e2
由此可知,对直线l上任意一点P,一定存在唯一的实数t 满足向量等式(1);反之,对每一个实数t,在直线l上都有 唯一的一个点P与之对应.向量等式(1)叫做直线l的向量 参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数. 1 令t= 2 , 点M是AB的中点，则
1 OM (OA OB ) 2
特征： OA 与OB 的系数之和是1 用途： 判断点P在直线AB上，即是判定 三点共线的依据。
2.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
DC,BC的中点且 AM c, AN d ，用 c, d 表示 AB, AD . 解：设 AB a, AD b
A
4 2 1 a d c c b a 3 3 2 b 4 c 2 d d a 1 b 3 3 2
教学目标
要求学生掌握平面向量的基本定理，能用 两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分 解为两个向量，了解平面基本定理的证明。
教学重点
平面向量基本定理，应用向量基本定理解 决问题。
教学难点
对平面向 量基本定理的理解，应用定理解 决平面几何问题
知识链接
1、实数与向量的积 2、两个向量的和（差）的求法
三角形法则
平行四边形法则
3、两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数λ ，使得 b =λ a
如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，
试用e1、e2表示向量
AB, CD, EF , GH
D H E B
e2 A e1 F
C
AB 2e1 3e2
EF 4e1 - 4e2
B
N
D M C
3、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b 试用 a , b 表示AG A F
B G D
E
C
4、在正六边形ABCDEF中，AC = a , AD = b用 a , b 表示向量AB、BC、 CD、DE、EF、FA。
E O D
F
C B
A
课堂小结:
1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那 么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一 对实数a1、a2，使 a a1e1 a2e2 说明：① e1、e2是两个不共线的向量； ② a是平面内的任一向量； ③ a1，a2实数，唯一确定.
探究:
e1 e2
o A B N M C
OM与OA共线
OM = λ1OA = λ1e1
达标练习:
1、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底； （3）零向量不可作为基底的向量 其中正确的说法是( B ) A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)
CD e1 4e2
GH 2e1 5e2
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 该平面内给定的向量a能用e1、e2来线性表示。
问题：（1）任何向量a是否都可以用含有e1、
e2的式子来表示呢？ （2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示
是否唯一？请说明理由.
平面向量基本定理
OP (1 t )OA tOB.
P
(1)
并且，满足该式的点P 一定在l上
B A
O
根据平面向量基本定理，同一平面内任一 向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已 知可得
OP OA AP OA t AB
OA t (OB OA)
(1 t )OA tOB
设点P满足等式 OP ， （ 1-t） OA t OB 则 AP t AB ，即P在l上
同理ON= λ2OB = λ2 e2
∴a = λ1e1 + λ2 e2
证明∵ OA OM ON ∴ 存 在 实 数 a1 ， a2 使 OM a1e1 , ON a2e2 . 于 是
a a1e1 a2e2 . （存在性）
唯一性： 设存在实数 x,y 使 a xe1 ye2 ，只要证 a1 x 且 a2 y
课后作业:
P99 练习B 2、3