平行四边形的判定一、【基础知识精讲】1.平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④两组对角分别相等⑤对角线互相平分2.平行四边形性质的运用：①直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数，线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等．②判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．③先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．二、【例题精讲】例1．（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是( )A．一组对边平行且相等的四边形B．两组对角分别相等的四边形C．对角线相等的四边形D．对角线互相平分的四边形（2）下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB=CD，AD∥BC B．AB=CD，AB∥CDC．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC例2．已知：如图，□ABCD中，点E、F在对角线上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．例3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ，G 是OA 的中点，H 是OC 的中点，求证：四边形EGFH 是平行四边形．三、【同步练习】 A 组1．如图，四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ， 若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD 是______, 根据是_____________________ .2．在图中，AC=BD ， AB=CD=EF ，CE=DF ，图中有哪些互相平行的线段？3．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ） A ．88°，108°，88° B ．88°，104°，108° C ．88°，92°，92° D ．88°，92°，88°4．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AF=CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．OCDBA5、已知如图：在ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE=DF ， 则线段AC 与EF 是否互相平分？说明理由.6．如图，在ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，并且OE=OF ．（1）OA 与OC ，OB 与OD 相等吗？ （2）四边形BFDE 是平行四边形吗？（3）若点E ，F 在OA ，OC 的中点上，你能解决上述问题吗？B 组1、在ABCD 中,∠ABC=750，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE=2AB ，则∠AED 等于（ ） A 、600 B 、650 C 、700 D 、7502．如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK=CM 、BL=DN ，则四边形KLMN 为平行四边形FED CBA3．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 做BE 的 平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE ，CF 。

（1）求证：AF=CE（2）若AC=EF ，证明AF ⊥AE4．如图，ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连结AN 、DN 、BM 、CM ，且AN 、BM 交于点P ，CM 、DN 交于点Q ，.四边形MGNP 是平行四边形吗？为什么？第四章 四边形性质探索 4.2 平行四边形的判定课程学习要求知识技能：1.掌握平行四边形的判定定理，并能与性质定理、定义综合应用 2．使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系．3．会根据简单的条件画出平行四边形，并说明画图的依据是哪几个定理． 过程与方法：1．通过“探索式试明法”开拓学生思路，发展学生思维能力．2．通过教学，使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，进一步提高学生分析问题，解决问题的能力． 情感态度和价值观通过一题多解激发学生的学习兴趣．美育渗透点。

通过学习，体会几何证明的方法美．FADCB重点难点剖析1. 探索四边形是平行四边形的条件，通过操作和合情推理发现结论；得出平行四边形的判定方法，说明理由 【剖析】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2. 会用平行四边形的判定进行说理典型例题展示重难点题讲解1.平行四边形的判定及应用【例1】如图5，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，3 ,6==AB BC ，求四边形ABCD 的周长．【解法一】：∵AB CD ∥∴︒=∠+∠180C B 又∵B D ∠=∠∴︒=∠+∠180D C∴AD ∥BC 即得ABCD 是平行四边形 ∴36AB CD BC AD ====，∴四边形ABCD 的周长183262=⨯+⨯= 【解法二】：如图6连接AC∵AB CD ∥∴DCA BAC ∠=∠又∵B D AC CA ∠=∠=， ∴ABC △≌CDA △∴36AB CD BC AD ====，∴四边形ABCD 的周长183262=⨯+⨯= 【解法三】:如图7AD CB图6AD CB图5连接BD∵AB CD ∥∴CDB ABD ∠=∠又∵ABC CDA ∠=∠ ∴ADB CBD ∠=∠∴AD ∥BC 即ABCD 是平行四边形 ∴36AB CD BC AD ====，∴四边形ABCD 的周长183262=⨯+⨯=【点拨】 要求此四边形的周长，先判断此四边形的形状，再依据平行四边形的性质解决. 2.平行四边形的判定 【例2】如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥．求证：（1）AFD CEB △≌△． （2）四边形ABCD 是平行四边形．【证明】：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°， 180CEB BEF ∠+∠=°， AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．（2）由（1）知AFD CEB △≌△， DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，， AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 【点拨】依据平行线的性质判定三角形全等，再根据全等三角形的性质为平行四边形的判定创造条件.易错题型讲解【易错点1】给定条件判断能都画出平行四边形【例1】在给定的条件中，能画出平行四边形的是（ ）． （A ）以60cm 为一条对角线，20cm 、34cm 为两条邻边;ABDEFCAD CB图7（B ）以6cm 、10cm 为对角线，8cm 为一边; （C ）以20cm 、36cm 为对角线，22cm 为一边;（D ）以6cm 为一条对角线，3cm 、10cm 为两条邻边 【正解】根据题意应该选择C 【错因分析】本题中判断能否画出平行四边形关键要看两条对角线的一半和四边形的一边是否构成三角形，（也就是是否符合三角形的三边关系）若能构成三角形则可以画出平行四边形；若不能构成三角形则不能画出平行四边形.在判断时不应该用两条对角线的长度和四边形的一边组成三角形.中考真题讲解【例1】（2009年常德市）下列命题中错误的是（ ）A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．一组对边平行的四边形是梯形 【解】根据四个选项可以判断出错误的命题是D 选项.【点拨】可以依据平行四边形的判断方法进行逐一判断即可. 【例2】（2009年威海）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，AB BF =．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ） A ．AD BC = B ．CD BF = C ．A C ∠=∠ D ．F CDE ∠=∠【解】根据题意应该选择D 【点拨】此类问题属于开放性问题，只要添加一个适当的条件就可以证明问题中的结论成立，需要依据平行四边形的判断方法进行证明.综合技能探究【例1】 (2009年黄冈市)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF ＝CE ．求证：四边形ACEF 是平行四边形．证明：∵点E 为Rt △ABC 的斜边中点， ∴EC ＝EA ＝EB∴∠EAC ＝∠ECA ． ∵AF ＝CE ，CE ＝EAEBAFCD∴AF ＝AE ，∴∠AFE ＝∠AEF ． ∵∠ACB ＝∠EDB ＝90° ∴FD ∥BC∴∠AEF ＝∠EAC∴∠EAC ＝∠ECA ＝∠AFE ＝∠AEF ． ∴∠EAF ＝180°－∠AFE －∠AEF ＝180°－∠EAC －∠ECA ＝∠AEC ∴AF ∥CE 又∵AF ＝CE∴四边形ACEF 是平行四边形【点拨】本题要依据平行四边形的判定和直角三角形斜边上的中线的性质进行解决.【例2】如图，l 1、l 2、l 3、l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD 的面积是25。

（1）连结EF ，证明△ABE 、△FBE 、△EDF 、△CDF 的面积相等。

（2）求h 的值。

【解】：连结EF∵l 1∥l 2∥l 3∥l 4，且四边形ABCD 是正方形 ∴BE ∥FD ，BF ∥ED∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴BE ＝FD又∵l 1、l 2、l 3和l 4之间的距离为h∴S △ABE ＝21BE·h ，S △FBE ＝21BE·h ，S △EDF ＝21FD·h ，S △CDF ＝21FD·h ∴S △ABE ＝ S △FBE ＝ S △EDF ＝ S △CDF（2）过A 点作AH ⊥BE 于H 点。

【解法一】：∵S △ABE ＝ S △FBE ＝ S △EDF ＝ S △CDF又∵ 正方形ABCD 的面积是25∴425=∆ABE S ，且AB ＝AD ＝5 又∵l 1∥l 2∥l 3∥l 4∴E 、F 分别是AD 与BC 的中点 ∴AE ＝21AD ＝25 ∴在Rt △ABE 中， BE ＝25522=+AE AB 又∵AB·AE ＝BE·AH∴5525255=⨯=•=BEAE AB AH 【解法二】：不妨设BE ＝FD ＝x (x>0)则S △ABE ＝ S △FBE ＝ S △EDF ＝ S △CDF ＝2xh又∵正方形ABCD 的面积是25， ∴S △ABE ＝42521=xh ，且AB ＝5 则225=xh ① 又∵在Rt △ABE 中：AE ＝22225-=-x AB BE又∵∠BAE ＝90o ，AH ⊥BE ∴Rt △ABE ∽Rt △HAE∴BEAEAB AH =，即xx h 2255-= 变形得：)5(25)(222-=x hx ②把①两边平方后代入②得：)5(25425222-=x ③ 解方程③得255=x （255-=x 舍去） 把255=x 代入①得：5=h 【规律总结】此问题主要涉及平行四边形的判定、性质，利用方程的思想以及相似三角形的知识解决.分层题型训练（A 层）夯实基础训练一、选择题1.根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( )A ．一组对边平行且相等的四边形B ．两组对边分别相等的四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相平分的四边形 2．下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是( )A ．一组对边平行，另一组对边相等B ．一组对边平行，一组对角相等C ．一组邻边相等，一组对角相等D ．一组对边平行，一组对角互补 3．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，当满足条件( )时，四边形ABCD 是平行四边形 A ．∠A ＋∠C =︒180 B ．∠B ＋∠D =︒180 C ．∠A ＋∠B =︒180 D ．∠A ＋∠D =︒180 4．已知下列三个命题⑴两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ⑵一个角与相邻两角都互补的四边形是平行四边形 ⑶一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形 其中错误的命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题1. 已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是_______（•填一个你认为正确的条件）．2.如图1，在ABCD 中，MN 分别是AB 、CD 的中点，BD 分别交AN 、CM 于点P 、Q ，在结论：①DP=PQ=QB ②AP=CQ ③CQ=2MQ ④S △ADP =14S ABCD中，则结论正确的个数是 3．3．四边形任意相邻内角都互补，那么四边形是______________．4. 四边形ABCD 中，已知CD AB //，若再增加条件_______可知四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题1.已知如图，在平行四边形ABCD 中，∠A =︒60，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，AB = 2AD ，求证：BD =3EF ．2如图，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。