2．如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点 E，F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） 4 13 ． 3
【解析】 分析：（1）根据平行四边形 ABCD 的性质，判定△ BOE≌ △ DOF（ASA），得出四边形 BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论； （2）在 Rt△ ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 BE，由勾股定理求出 BD，得出 OB，再由勾股定理求出 EO，即可得出 EF 的长. 详解：（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， ∴ ∠ A=90°，AD=BC=4，AB∥ DC，OB=OD， ∴ ∠ OBE=∠ ODF， 在△ BOE 和△ DOF 中，
点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键 是掌握梯形中常见的辅助线作法．
4．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B=90°，AC=60cm，∠ A=60°，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/秒的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向点 B 匀 速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 D、E 运动的时间是 t 秒（0＜t≤15）．过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE，EF．
与（1）同理，可以证明 AG⊥BE． 过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N， 与（2）同理，可以证明△ AON≌ △ BOM， 可得 OMHN 为正方形，所以 HO 平分∠ BHG， ∴ ∠ BHO=45°． 考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质
∴ AB= 1 AC= 1 ×60=30cm， 22
∵ CD=4t，AE=2t， 又∵ 在 Rt△ CDF 中，∠ C=30°，
∴ DF= 1 CD=2t，∴ DF=AE； 2
（2）能， ∵ DF∥ AB，DF=AE， ∴ 四边形 AEFD 是平行四边形， 当 AD=AE 时，四边形 AEFD 是菱形，即 60﹣4t=2t，解得：t=10， ∴ 当 t=10 时，AEFD 是菱形； （3）若△ DEF 为直角三角形，有两种情况： ①如图 1，∠ EDF=90°，DE∥ BC，
， ∴ △ ADG≌ △ CDG（SAS）， ∴ ∠ DAG=∠ DCG； ②AG⊥BE．理由如下： ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AB=DC，∠ BAD=∠ CDA=90°，
在△ ABE 和△ DCF 中
， ∴ △ ABE≌ △ DCF（SAS）， ∴ ∠ ABE=∠ DCF， ∵ ∠ DAG=∠ DCG， ∴ ∠ DAG=∠ ABE， ∵ ∠ DAG+∠ BAG=90°， ∴ ∠ ABE+∠ BAG=90°， ∴ ∠ AHB=90°， ∴ AG⊥BE； （2）由（1）可知 AG⊥BE． 如答图 1 所示，过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N，则四边形 OMHN 为矩形．
则 AD=2AE，即 60﹣4t=2×2t，解得：t= 15 ， 2
②如图 2，∠ DEF=90°，DE⊥AC，
则 AE=2AD，即 2t 2(60 4t) ，解得：t=12， 综上所述，当 t= 15 或 12 时，△ DEF 为直角三角形.
2
5．已知矩形纸片 OBCD 的边 OB 在 x 轴上，OD 在 y 轴上，点 C 在第一象限，且
在△ BAH 中，AB=2，∠ BHA=90°，AH=y，HB= x 1 ，∴ 22 y2 x 12 ，
则 y x2 2x 3 0 x 3
（2）取 CD 中点 T，联结 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET∥ AD，ET⊥CD， ∴ ∠ AET=∠ B=70°． 又 AD=AE=1，∴ ∠ AED=∠ ADE=∠ DET=35°．由 ET 垂直平分 CD，得∠ CET=∠ DET=35°， ∴ ∠ AEC=70°＋35°=105°． （3）分两种情况讨论：①当∠ AEC=90°时，易知△ CBE≌ △ CAE≌ △ CAD，得∠ BCE=30°， 则在△ ABH 中，∠ B=60°，∠ AHB=90°，AB=2，得 BH=1，于是 BC=2．
标;
②由折叠的性质及矩形的特点，易得 DGF PGE ，得到 DF PE ，再加上平行， 可以得到四边形 DEPF 是平行四边形，在由对角线垂直，得出 DEPF 是菱形，设菱形的 边长为 x，在 RtODE 中，由勾股定理建立方程即可求解;
(Ⅱ)当 O,P,F 点共线时 OP 的长度最短. 【详解】 解：（I）①∵ 折痕为 EF,点 P 为点 D 的对应点
坐标： （Ⅱ）若点 P 落在矩形 OBCD 的内部，且点 E，F 分别在边 OD，边 DC 上，当 OP 取最小值 时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）。
【答案】（I）①点
F
的坐标为
(6,6)
；②点
F
的坐标为
85 14
,
6
；（II）
P
8 5
,
6 5
【解析】
【分析】
（I）①根据折叠的性质可得DOF POF 45 ,再由矩形的性质，即可求出 F 的坐
OBE ODF OB OD BOE DOF
∴ △ BOE≌ △ DOF（ASA）， ∴ EO=FO， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，BD⊥EF， 设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在 Rt△ ADE 中，DE2=AD2+AE2， ∴ x2=42+（6-x）2，
∴ ∠ MON=90°， 又∵ OA⊥OB， ∴ ∠ AON=∠ BOM． ∵ ∠ AON+∠ OAN=90°，∠ BOM+∠ OBM=90°， ∴ ∠ OAN=∠ OBM． 在△ AON 与△ BOM 中，
∴ △ AON≌ △ BOM（AAS）． ∴ OM=ON， ∴ 矩形 OMHN 为正方形， ∴ HO 平分∠ BHG． （3）将图形补充完整，如答图 2 示，∠ BHO=45°．
OB 8，OD 6.现将纸片折叠，折痕为 EF（点 E，F 是折痕与矩形的边的交点），点 P
为点 D 的对应点，再将纸片还原。 （I）若点 P 落在矩形 OBCD 的边 OB 上， ①如图①，当点 E 与点 O 重合时，求点 F 的坐标；
②如图②，当点 E 在 OB 上，点 F 在 DC 上时，EF 与 DP 交于点 G，若 OP 7 ，求点 F 的
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．四边形 ABCD 是正方形，AC 与 BD，相交于点 O，点 E、F 是直线 AD 上两动点，且 AE=DF，CF 所在直线与对角线 BD 所在直线交于点 G，连接 AG，直线 AG 交 BE 于点 H． （1）如图 1，当点 E、F 在线段 AD 上时，①求证：∠ DAG=∠ DCG；②猜想 AG 与 BE 的位 置关系，并加以证明； （2）如图 2，在（1）条件下，连接 HO，试说明 HO 平分∠ BHG； （3）当点 E、F 运动到如图 3 所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接 写出∠ BHO 的度数．
②当∠ CAE=90°时，易知△ CDA∽ △ BCA，又 AC BC2 AB2 x2 4 ，
则 AD CA 1 x2 4 x 1 17 （舍负）
AC CB
x2 4
x
2
易知∠ ACE<90°，所以边 BC 的长为 1 17 ． 2
综上所述：边 BC 的长为 2 或 1 17 ． 2
3．如图，四边形 ABCD 中，∠ BCD=∠ D=90°，E 是边 AB 的中点.已知 AD=1，AB=2. （1）设 BC=x，CD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠ B=70°时，求∠ AEC 的度数； （3）当△ ACE 为直角三角形时，求边 BC 的长.
【答案】（1） y x2 2x 3 0 x 3 ；（2）∠ AEC=105°；（3）边 BC 的长为
2 或 1 17 . 2
【解析】 试题分析：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H，得到四边形 ADCH 为矩形．在△ BAH 中，由勾股定 理即可得出结论． （2）取 CD 中点 T，连接 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET∥ AD，ET⊥CD， ∠ AET=∠ B=70°．
又 AD=AE=1，得到∠ AED=∠ ADE=∠ DET=35°．由 ET 垂直平分 CD，得∠ CET=∠ DET=35°，即 可得到结论． （3）分两种情况讨论：①当∠ AEC=90°时，易知△ CBE≌ △ CAE≌ △ CAD，得∠ BCE=30°， 解△ ABH 即可得到结论． ②当∠ CAE=90°时，易知△ CDA∽ △ BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H．由∠ D=∠ BCD=90°，得四边形 ADCH 为矩形．
【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3） ∠ BHO=45°． 【解析】 试题分析：（1）①根据正方形的性质得 DA=DC，∠ ADB=∠ CDB=45°，则可根据“SAS”证明 △ ADG≌ △ CDG，所以∠ DAG=∠ DCG；②根据正方形的性质得 AB=DC， ∠ BAD=∠ CDA=90°，根据“SAS”证明△ ABE≌ △ DCF，则∠ ABE=∠ DCF，由于∠ DAG=∠ DCG， 所以∠ DAG=∠ ABE，然后利用∠ DAG+∠ BAG=90°得到∠ ABE+∠ BAG=90°，于是可判断 AG⊥BE； （2）如答图 1 所示，过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N，证明△ AON≌ △ BOM， 可得四边形 OMHN 为正方形，因此 HO 平分∠ BHG 结论成立； （3）如答图 2 所示，与（1）同理，可以证明 AG⊥BE；过点 O 作 OM⊥BE 于点 M， ON⊥AG 于点 N，构造全等三角形△ AON≌ △ BOM，从而证明 OMHN 为正方形，所以 HO 平分∠ BHG，即∠ BHO=45°． 试题解析：（1）①∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ DA=DC，∠ ADB=∠ CDB=45°， 在△ ADG 和△ CDG 中