第六部分 量子物理基础 习题：1.从普朗克公式推导斯特藩玻尔兹曼定律。

（提示：15143π=-⎰∞dx e xx）解：λλπλλλd e hc d T M T M T k hc⎰⎰∞-∞-==52000112),()(令x Tk hc =λ，则dx kTxhc d 2-=λ，所以442545034234025252015212)(11)(2112)(TTch kdxexTc h k dxkTxhc e hckTx hc d e hc T M xxT k hcσπππλλπλ=⋅⋅=-=--=-=⎰⎰⎰∞∞∞-证毕。

2.实验测得太阳辐射波谱中峰值波长nm m 490=λ，试估算太阳的表面温度。

解：由维恩位移定律b T m =λ得到K bT m3931091.51049010897.2⨯⨯⨯==--＝λ3.波长为450nm 的单色光射到纯钠的表面上（钠的逸出功A ＝2.29eV ），求： （1）这种光的光子能量和动量； （2）光电子逸出钠表面时的动能。

解：（1） 2.76eV J 1042.4104501031063.6199834＝＝－－⨯⨯⨯⨯⨯===-λhchv Es m /kg 1047.1104501063.6hp 27934⋅⨯⨯⨯--－＝＝＝λ（2）由爱因斯坦光电效应方程，得光电子的初动能为eV A hv E k 47.029.276.2=-=-=4.铝的逸出功是4.2eV ，现用波长nm 200=λ的紫外光照射铝表面。

试求： （1）发射的光电子的最大动能； （2）截止电压； （3）铝的红限频率。

解：（1）由光电效应方程得光电子的最大动能为J 102.3106.12.4102001031063.619199834－－－－＝⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=A hcA hv E k λ（2）截止电压V 0.2106.1102.319190＝－－⨯⨯==eE V k（3）红限频率Hz 1001.11063.6106.12.41534190⨯=⨯⨯⨯==-－hA v5.在一次康普顿散射中，传递给电子的最大能量为MeV E 045.0=∆，试求入射光子的波长。

已知电子的静能量MeV c m E 511.0200==，m V hc ⋅⨯=-e 104.127。

解：要使一个电子的反冲能量具有最大值，入射光子必定是反向散射。

设入射光子的能量为E ，散射光子得能量为'E ，电子的初能量为20c m ，反冲能量为＋0.045MeV 。

由能量守恒定律有)045.0('2020MeV cm E cm E ++=+整理后得MeV E E 045.0'=-. 由动量守恒定律，有e p c E c E +-='考虑到电子能量与动量的相对论关系，有 2202220)()()045.0(c m c p MeV c m e +=+所以c MeV p e /219.0=. 于是MeV cp E E e 219.0'==+ 这样可以求得MeV E 132.02219.0045.0=+=根据λ/hc hv E ==可以得到入射光的波长m 1039.9132.0MeV 104.121213－－⨯=⋅⨯==MeVmEhc λ6.有一功率1W 的光源，发射波长为589nm 的单色光。

试求单位时间内落在半径为1mm 、距光源1m 的薄圆片上的光子数。

假设光源向各个方向发射的能量是相同的。

解：圆片的面积为26210m R S ππ-==。

由于光源发射出来的能量在各个方向是相同的，故单位时间落在圆片上的能量为24rS PE π=其中，r 为光源到圆片的距离，P 为光源的功率，于是W E 726105.214101－－＝⨯⨯⨯=ππ单位时间落在圆片上的光子数为s hcE hvE N /104.7100.31063.610589105.21183497⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===－－－－λ第二章 原子光谱与原子结构1.根据氢原子光谱实验规律求巴耳末系的最长波长和最短波长。

解：巴耳末系的波长由里德堡线系公式确定，即⋯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==,5,4,31211~22n n R λν所以，n ＝3时对应的频率最小，波长最长，此时m 10563.6312110097.1110227m ax －⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=λ而n ＝∞时对应的波长最短，此时m 10364612110097.1110227m in －⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-⨯⨯=λ2.根据玻尔理论计算氢原子基态下列各物理量：量子数、轨道半径、角动量。

解： 玻尔理论主要有三个方面的内容；即定态En ，n=1,2,3…的提出，量子化条件 n L =和跃迁假设h E E v h i /)(-=。

根据角动量的定义：r m L υ=牛顿第二定律rm re22024υπε=得到电子轨道运动速度：)1(202nh enευ=（n=1,2,3…）和υm n r = （n=1,2,3…）这样得到的量子化轨道为：2220nmeh r n πε=（n=1,2,3…）就此得到有关氢原子基态的上述参数值： 量子数 n=1轨道半径11219312341222010103.5)106.1(1011.914.3)1063.6(1085.8-----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===meh r a πεm角动量 343411101.121063.62--⨯=⨯===ππυh•r m L J/s3.根据玻尔理论计算：氢原子从n ＝4跃迁到n ＝1态的相关物理量 （1）求解初态和末态的能量；（2）求解辐射能量和4-1能级的辐射频率。

解：（1）根据玻尔理论量子化能级的公式：)1(82224nhmeE n ε-= （n=1,2,3…）eV hmeE 6.131)1063.6()1085.8(8)106.1(1011.9)11(823421221931222041-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=-=----εeV hmeE 85.0161)1063.6()1085.8(8)106.1(1011.9)41(823421221931222044-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=-=----ε（2）eV E E E 75.12)6.13(85.014=---=-=∆15341910078.31063.6106.175.12⨯=⨯⨯⨯=∆=--hE v Hz4.一个原子体系吸收一个375nm 的光子后辐射出来一个580nm 的光子，求在这个过程中原子体系的能量变化。

解：设第一个光子能量为E 1第二个光子的能量为E 2eVhc E E E 17.1J1087.11058011037511031063.61119998342121=⨯=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-=-=∆---－）（）（λλ可见原子体系的能量增加1.17eV 5.指出玻尔理论的不足 答：玻尔理论的不足表现在：（1）只能计算氢原子及类氢原子的光谱。

（2）即使氢原子也只能计算频率而不能计算强度。

（3）理论结构本身的不合逻辑性。

它的理论仍未从根本上突破牛顿力学的框架，只是人为地将量子化条件强加与原子的一种半经典，半量子化理论，特别是有关电子轨道的概念，显然与后来的量子力学中的电子轨道不相容。

第三章 量子力学初步 习题1.指出波函数的标准条件，以及波恩对波函数的概率解释。

根据波函数的统计解释，必须要求波函数是单值、有限、连续而且是归一化的函数。

这些条件称为波函数的标准条件。

玻恩提出的波函数的统计解释：波函数是描写微观粒子波动性的函数，是时间和空间的复函数y(r, t)。

描写沿x 方向以恒定动量p 运动（能量为E ）的自由粒子的波函数为以下形式)(0),(px Et i et x --=ψψ在某一时刻，在空间某处波函数模的平方2),(t x ψ正比于粒子在该时刻、该地点出现的概率，称为概率密度。

因此，物质波是一种概率波，它反映了微观粒子运动的统计规律。

2.试求：（1）动能为0.5eV 的中子的德布罗意波波长（中子质量1.675×10-27kg ）； （2）质量m ＝0.01kg ，速率v ＝300m/s 的子弹的德布罗意波波长。

解：（1）由于中子的能量较小，可以采用经典理论计算。

m 1028.1106.105.010675.121063.6210192734－kn E m h ph ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===＝－－－λ（2）由德布罗意公式m 1021.230001.01063.6m 3434－＝⨯⨯⨯==-υλh可见宏观物体的德布罗意波波长是非常小的，实验无法测量。

3.静止在光滑水平面上的一颗沙粒的质量为1.00×10-3g ，其位置测量的误差不大于0.01mm ，求沙粒速度的最小测量误差。

解：由不确定关系式2 ≥∆⋅∆x p x 可得到xm mp x x ∆≥∆=∆2 υ进一步可以计算得到：s m xm /1025.5100.11000.121005.12235634----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=∆所以sm x /103.523-⨯≥∆υ可见沙粒速度不确定性很小，因而经典理解速度的确定性还是被认为成立的。

4.原子的线度为10－10m ，求原子中电子速度的不确定量（电子质量m e ＝9.11×10－31kg ）。

解：电子在原子中，意味着电子位置的不确定量m x 1010-=∆，由不确定关系2≥∆⋅∆x p x 可得)/(m 108.5101011.921005.125103134s xm mp x x ⨯⨯⨯⨯⨯=∆⋅≥∆=∆＝－－－ υ 5.求证：如果电子位置的不确定量等于它的德布罗意波长，那么它的速度的不确定量等于该粒子的速度。

（不确定关系选h p x x ≈∆⋅∆）证明：由不确定关系有h p x x ≈∆⋅∆，而由题设可得λ=∆x ，所以 λhx h p x =∆≈∆所以 x x x mp m h υλυ==≈∆6.某粒子运动时的波函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2,02,3cos 2a x a x ax aπφ试求：（1）概率密度的表达式；（2）粒子出现概率最大的各个位置。

解：（1）概率密度的表达式为22,3cos2||22a x a ax a<<-=πφ（2）概率密度最大的位置，粒子出现的位置也最大。

由（1）可知，13cos 2=ax π时概率密度最大。

此时ππk ax =3 （k 为整数）所以3ka x =.又由22a x a <<-可以知道，k ＝-1，0，1。

由此可得在)2,2(aa -区间，概率密度最大的可能位置为3,0,3a a x -=.7.三维无限深势阱：假设粒子限制在矩形盒子中运动，也就是说它的势函数形式为：⎩⎨⎧∞<<<<<<=其他,0,0,0,0c z b y a x V讨论能量的允许值和相应的波函数形式解：由定态薛定谔方程得到本题中的波函数),,(z y x ψ满足),,(),,()2(22z y x E z y x V mψψ=+∇-由势阱的特殊形式决定可以把波函数分离变量)()()(),,(z y x z y x ψψψψ=来解本题，并且参照一维无限深势阱的解题方法，得到在x 方向上的波函数)sin()(x an A x xn πψ=22222man E x n xπ =a A xn2=,...3,2,1=x n同理，其他方向上的)sin()(y an A y y m yπψ=22222mbn E y nyπ =b A yn2=,...3,2,1=y n)sin()(z an A z z m zπψ=22222mbn E z n zπ =c A zn 2=,...3,2,1=z n这样得到我们需要的解：)sin()sin()sin(8)sin()sin()sin()()()(),,(z cn y bn x an abcz c n A y b n A x a nx A z y x z y x z y x z m y n n z yx ππππππψψψψ===粒子能量允许值是：222222222222222mcn mbn man E E E E z y x n n n zyxπππ ++=++=，,...3,2,1,,=z y x n n n .8.简述隧道效应的量子物理机制，并说明扫描隧道显微镜（Scanning Tunneling Microscopy ）的原理。