3.4 倒易点阵与布里渊区(Reciprocal Lattice and Brillouin Zone) 在晶格振动理论中原子的振动以机械波的形式在晶体中传播，在能带理论中电子的几率分布用波函数的形式描述,是在整个晶体中分布的几率波。

上述两种波都受制于晶格的周期性。

倒易空间就是定
义在晶格上的波()r ψ的波矢k 的空间.
从数学上讲,倒易点阵和Bravais 点阵互相是对应的傅里叶空间。

倒易点阵基矢(Reciprocal Basis)与晶格基矢正交归一： a a i j ij *⋅=2πδ。

倒易点阵基矢：()()()()
a a a a a a a a a a a a c
c
c c 123231123312222***,=⨯=⨯=⋅⨯=⨯πππΩΩΩΩ即原胞体积。

倒易格矢量：
*3*2*1a l a k a h G hkl ++=，其中h, k, l 为任意整数.构成倒易点
阵。

Bravais 点阵的倒易点阵也是Bravais 点阵，在绝大多数情况傅里叶
变换并不改变点阵的晶格结构.普遍而言
倒易点阵属于点阵同一晶系.
(1) 面心立方与体心立方互为正、倒易点阵。

例子：面心---体心互
换。

)ˆˆˆ(2
),ˆˆˆ(2),ˆˆˆ(2321z y x a a z y x a a z y x a a -+=+-=++-= (2) 体心四方变成面心四方,也就是回到体心四方.
)ˆˆˆ(2
1),ˆˆˆ(21),ˆˆˆ(21321z c y a x a a z c y a x a a z c y a x a a -+=+-=++-= (3) 底心正交还是变成体心正交.
z c a y a x a a y b x a a ˆ),ˆˆ(2
1),ˆˆ(21321=-=+= 倒易点阵在晶体学中的应用：晶面的定量描述。

倒格矢
G ha ka la hkl =++123***垂直于()hkl 晶面。

面间距d G hkl hkl =2π/。

所以
倒格矢hkl G 可以代表()hkl 晶面.
证明：设晶面在基矢上的截距为x y z ,,，Miller 指数()h k l x y z ,,,,=⎛⎝ ⎫⎭
⎪111。

被晶面截出的基矢方向的矢量差为 u ya xa 1221=-，2
323a y a z u
-=和3131a z a x u -=。

以Miller 指数组成倒格矢 G ha ka la hkl =++123***,正好与三个截距矢量差都垂直：() G u hx ky hkl ⋅=-+=1220π。

所以 G hkl
与由 u 12， u 23和 u 31张成的晶面垂直。

晶
面的间距也可以计算出来：d xa G G xh G G hkl hkl hkl hkl hkl =⋅== 122///ππ.。