第一章 自由电子论 1.1 经典自由电子论1900年特鲁德 (P. Drude) 首先提出金属中的价电子好比气体分子，组成电子气体，它们可以同离子碰撞，在一定的温度下达到热平衡。

因此电子气体可以用具有确定的平均速度和平均自由时间的电子来描述。

在外电场作用下，电子产生定向漂移运动引起了电流。

在温度场中电子气体的定向流动伴随着能量传送，使金属具有良好的热导。

金属的电导和热导之间的维德曼－夫兰兹(Wiedemann -Franz) 定律反映了它们都起因于电子气体的定向流动，支持了电子气体模型。

特鲁德金属电子气体模型的基本假设为： (1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。

没有外加电磁场时，电子作匀速直线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。

忽略其它电子和离子产生的复杂的附加场。

在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间的相互作用称为自由电子近似。

(2) 一个电子在有限的时间间隔dt 内经历的碰撞次数为τdt ，τ 称为平均自由时间，或弛豫时间。

特鲁德假定弛豫时间与电子的位置和速度无关。

这称为弛豫时间近似。

(3) 电子通过碰撞和它们的环境达到热平衡。

遵从玻尔兹曼统计。

电子每一次碰撞后，完全丢失原来的速度和运动方向，随机地改变运动方向，获得新的速率近似地由发生碰撞处的温度决定。

这样发生碰撞的区域越热，碰撞后电子的速率越大。

应用特鲁德理论可以成功地解释金属的一些输运性质： 1 电子的运动方程在任意时间t 电子的平均速度为p (t ) / m ，p 是每个电子的总动量。

我们来计算经过无穷小的时间间隔dt 后每个电子的总动量p (t+dt )。

电子在这段时间间隔内的碰撞几率为τdt ，不遭受碰撞的几率为τdt -1。

假设电子不遭受碰撞，但是受到越过空间均匀的电场或/和磁场力()t f 的作用，因此电子总动量的增量为()()2dt o dt t +f 。

忽略碰撞对电子总动量的影响有：()()()()()()()()()()221t dt dt t t dt o dt t dt t t dt o dt ττ⎡⎤+=-++-++⎣⎦p p f =p p f (1.1.1)因此得到：()()()()()()2dt o dt t t dt t dt t ++-=-+f p p p τ (1.1.2) 方程两边同除以dt ，并取dt → 0时的极限：()()()t t dt t d f p p +-=τ(1.1.3) 这就是电子的运动方程。

2 金属的直流电导欧姆定律的微分形式为：j = σ E (1.1.4) 其中σ 称为电导率。

设单位体积中n 个电子以相同的平均速度υ运动，由此产生的电流密度j 将平行于υ。

在时间间隔dt 内电子在速度方向运动的距离为υdt ，这样将有n υdtA 的电子越过垂直于速度方向的面积A ，每一个电子携带电荷 - e ，在时间间隔dt 内越过面积A 的电荷为 -ne υdtA ，因此电流密度为：j = -ne υ (1.1.5) 在没有外加电场时，电子的平均速度为零，电流密度也为零。

在有外加电场E 时，稳态时，按照电子运动方程，()0=dt t d p ，()()t t f p =τ，因此附加定向速度的平均值为υ = -e E τ / m ，τ 为弛豫时间。

因此： E j mne τ2= (1.1.6)因此金属的电导率为：mne τσ2= (1.1.7)3 霍尔效应1879年霍尔 (E. H. Hall) 研究了在磁场中的载流导体，发现当磁场B (设沿z 方向) 垂直于电流j x 时，在垂直于电流和磁场方向导体两边 (沿y 方向) 有电压降。

首先定义两个重要的物理量：()xx j EH =ρ (1.1.8)称为横向磁阻。

其中E x 为沿电流j x 方向的电场。

图1.1.1 Hall 效应霍尔系数定义为：B j E R x yH = (1.1.9)为了计算霍尔系数，由电子运动方程可得：()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯+--=B E p p p m e t dt t d τ (1.1.10)在稳恒状态，时间导数为零，因此：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=τωτωyx c y x y c x p p eE p p eE 00 (1.1.11) 其中meBc =ω (1.1.12) 称为回旋频率。

用-ne τ / m 乘以方程两边可得：⎩⎨⎧+-=+=y x c y x y c x j j E j j E00τωστωσ (1.1.13)这里σ 0就是没有磁场时特鲁德模型中的直流电导率。

因为没有横向电流 即j y = 0。

因此霍尔场E y 为：x x c y Bj ne j E ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10στω (1.1.14) 由此可得霍尔系数为：neR H 1-= (1.1.15) 4 交流电导率和光学性质考虑沿x 方向传播、电场在y 方向的横向电磁波，其电场强度可以表示为：()()t kx i y e E E ωω-=0 (1.1.16) 电子的运动方程为：()()()ωτωωy y y eE p dtdp --= (1.1.17)我们寻找下列形式的稳态解：()()t kx i y e p p ωω-=0 (1.1.18) 代入电子运动方程得：()()()ωτωωωy y y eE p p i --=- (1.1.19)因此：()()()()()()ωωσωτωτωωyyy y E i E m ne mp ne j =-=-=1/2(1.1.20) 其中依赖频率的交流电导率为：()()'''11/02σσωτσωττωσi i i m ne +=-=-=(1.1.21)2201'τωσσ+=, 2201''τωωτσσ+= (1.1.22) 其中实部'σ表示同相（in-phase ）电流，产生电阻焦耳热，虚部''σ表示2π异相（out-of-phase ）感应电流。

现在从另一个观点考虑电子的响应，根据Maxwell 方程：J EH +∂∂=⨯∇tL ε (1.1.22) 其中右边第一项是与晶格离子芯极化相关的位移电流，J 为传导电子的电流。

对于交变场:()()()()ti ∂∂-==EE J ωωσωωσω (1.1.23)据此重写Maxwell 方程：t∂∂=⨯∇E H ε~ (1.1.24) 其中ε~为总介电常数：()ωωσεεi L+=~ (1.1.25) 对于相对介电常数0~~εε=r ：()()22002200,11'''~τωωεστωετσεεεε+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=ii r L r r r (1.1.26)介质的复数折射率定义为：κεi n nr+==21~~ (1.1.27)这里n 是通常的折射率，κ是消光系数。

在光学实验中，通常不直接测量n 和κ，而是测量反射率R 和吸收系数α。

它们之间的关系为：()()222211κκ+++-=n n R (1.1.28)κωαc2=(1.1.29) 低频时1<<ωτ，"~rr i εε≈，因此： 21002122"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛==ωεσεκr n (1.1.30)吸收系数的倒数趋肤深度（skin depth ）为：2102021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ωσεαδc (1.1.31) 高频时ωτ<<1，这个频率范围覆盖了可见光和紫外区。

此时：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22,1ωωεεp r L r (1.1.32) 其中me n L pεω202= (1.1.33) n 0为电子浓度。

当p ωω<时，0<r ε，则0=n ，1=R 。

金属显现出完全的反射率。

当p ωω>时，0>r ε，则0=κ，0=α，10<<R 这样金属介质表现类似玻璃的不吸收的透明介质。

例题1.1.1 对于漂移速度理论。

证明静态电流密度可以用矩阵形式写成()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x c c c c z y x E E E j j j 22)(10001011τωτωτωτωσ设电流沿x 方向, 静磁场沿z 方向，固体的横向磁场。

电阻率定义为E x /j x 。

证明上式将导致x x E j σ=。

因为对于这种几何位形0=y j ，于是, 这个模型的电阻率不依赖于磁场, 在高场极限, ,1>>τωc 证明xy yx B ne σσ-==/。

证明: 由电子运动方程:()⎪⎭⎫⎝⎛⨯+--=B P E P P m e t dt t d τ)( 对于稳态:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-+=++ 00z z x y y y x xE m e m eB m eE meB m eE τυτυτυτυτυ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-z y x z y x c c E E E m e τυυυτωτω1000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-z y x c c z y x E E E m ne j j j 121000101τωτωτ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+z y x c c c E E E )(1001011120τωτωτωσ ()()y c x c x E E j τωτωσ-+=21由()()012=++=y x c c y E E j τωτωσ得x c y E E τω-= 代入 ()()x x c x c x E E E j 02221στωτωσ=++=()()B ne B ne meB m ne c c c xyc c c yx/1/1202020-=-=+-====+=τωστωτωσστττωστωτσωσ5 金属热导率在金属中离子的热导率远小于电子的热导率。

按照热导的傅里叶定律：T q ∇-=κj (1.1.34) 根据分子运动论，类似声子的热导率：若分子的浓度为n ，则x 方向上粒子的通量为()x n υ21，在平衡时，反方向上也有同样大小的通量。

如果c 表示平均一个粒子的热容，则在由局部温度为T T ∆+的区域运动至局部温度为T 处的过程中会放出能量T c ∆。

粒子平均自由程两端之间的T ∆由下面的公式给出：τυx dxdT l dx dT T ==∆ (1.1.35) 因此由两个方向的粒子通量所给出的净能量通量为：dxdT l C dx dT C dx dT c n j x q υτυτυ313122-=-=-= (1.1.36) 其中υτ≡l ，nc C ≡。