二次函数知识点总结
二次函数知识点总结
一、函数定义与表达式
1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；
2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；
3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与
x轴两交点的横坐标）。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式
表示。
二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。
二、函数图像的性质——抛物线
1）开口方向——二次项系数a
二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然
a≠0.
当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反
之a的值越小，开口越大；
当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反
之a的值越大，开口越大。
顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负
决定开口方向，a的大小决定开口的大小。
|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。
y = 2x^2
y = x^2
y = (1/2)x^2
y = -(1/2)x^2
y = -x^2
y = -2x^2
2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴顶点式：x = h
两根式：x = x1、x = x2
3）对称轴位置
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）
a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧
a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧
4）增减性，最大或最小值
当a>0时，在对称轴左侧（当x。
-b/2a时），y随着x的增大而增大；
当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；
当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；
5）常数项c
常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）。
6）a、b、c符号判别
二次函数y = ax^2 + bx + c（a≠0）中a、b、c的符号判别：
1.符号判别
当抛物线的开口向上时，a>0；当开口向下时，a<0.
当抛物线与Y轴的交点在X轴的上方时，c>0；在X轴
的下方时，c<0.
对称轴在Y轴的左侧时，a、b同号；在Y轴的右侧时，a、b异号。
7.抛物线与x轴交点个数
当Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
这两点间
的距离AB=|x1-x2|=2|a|/Δ。
当Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，顶点在x 轴上。
当Δ=b²-4ac0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0.
8.特殊情况
①二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则Δ=b²-4ac=0；
②二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则b=0；
③二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0.
三、平移
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶点坐标(h,k)；
⑵左右平移变h，左加右减；上下平移变k，上加下减。
练：
1.A
2.D
3.A
4.B
5.C
6.B
1.抛物线的符号判别
当抛物线的开口向上时，a为正数；当开口向下时，a为负数。
当抛物线与Y轴的交点在X轴的上方时，c为正数；在X 轴的下方时，c为负数。
当对称轴在Y轴的左侧时，a和b的符号相同；在Y轴的右侧时，a和b的符号不同。
7.抛物线与x轴交点个数
当Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点。
这两点间的距离AB=2|a|/Δ。
当Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点，且顶点在x 轴上。
当Δ=b²-4ac0时，图像在x轴上方，y大于0；当a<0时，图像在x轴下方，y小于0.
8.特殊情况
①二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二
次函数的顶点在X轴上，则Δ=b²-4ac=0；
②二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函
数的图像关于Y轴对称，则b=0；
③二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0.
三、平移
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶
点坐标(h,k)；
⑵左右平移变h，左加右减；上下平移变k，上加下减。
练：
1.A
2.D
3.A
4.B
5.C
6.B
1、已知二次函数y=2x²-4x-6，将其写成标准式：y=2(x-
1)²-8，因此它的顶点坐标为(1,-8)，与x轴交点为(-1,0)和(3,0)，与y轴交点为(0,-6)。
2、已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于C(0,c)点，与x轴
交于B(c,0)，其中c＞0.
1）因为抛物线与y轴交于C点，所以x=0时，y=c，代
入y=ax²+bx+c得到b+1+ac=0.
2）因为C与B两点距离等于22，所以(0-c)²+(c-0)²=22，
解得c=1或c=7.
当c=1时，代入b+1+ac=0得到b=-3，所以抛物线的解析
式为y=ax²-3x+1.
当c=7时，代入b+1+ac=0得到b=-8，所以抛物线的解析
式为y=ax²-8x+7.
又因为一元二次方程ax²+bx+c的两根之差的绝对值等于1，所以(b²-4ac)的平方根的绝对值等于1，即b²-4ac=±1.
代入y=ax²+bx+c得到x=(-b±√(b²-4ac))/2a，两根之差为
√(b²-4ac)/a，因此√(b²-4ac)=±a。
代入b²-4ac=±1得到b²-1=4ac或b²-1=-4ac。
当c=1时，代入b=-3得到a=2或a=-2，因此抛物线的解
析式为y=2x²-6x+1或y=-2x²-6x+1.
当c=7时，代入b=-8得到a=1或a=-7/2，因此抛物线的
解析式为y=x²-8x+7或y=-7/2x²+28x-21.
B与A一起影响二次函数关于y轴的对称性，即“左同右异”。
C表示二次函数与y轴的交点坐标，当c>0时在x轴上方，c<0时在x轴下方，c=0时必经过原点。
特殊点的纵坐标位置
如(1.a+b+c)、(-1.a-b+c)等。
对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其解为二次函数
y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。
而一元二次不等式
ax2+bx+c>0的解集为二次函数y=ax2+bx+c图象在x轴上方的
点对应的横坐标范围，ax2+bx+c<0的解集则为二次函数
y=ax2+bx+c图象在x轴下方的点对应的横坐标范围。
例如，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图9所示。
根
据图象，可以解答以下问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的
两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c>0的解集；（3）写出y
随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程
ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
当定义域为全体实数时，二次函数的顶点纵坐标为最值。
如果定义域不包含顶点，则需要观察图象确定边界点，进而确定最值。
二次函数的对称变换可以通过关于y轴对称、关于x轴对称、关于原点对称等方式，得到变换后的解析式。
在解二次函数的问题时，可以采用以下方法：⑴求二次函数与x轴的交点坐标，需要转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，
需要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可以利用这一性质，求出已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，通过对称性求出另一个点坐标。