习题3-1.选择题：（1）已知单位负反馈闭环系统是稳定的，其开环传递函数为：)1(2)s )(2+++=s s s s G （，系统对单位斜坡的稳态误差是：a.0.5 b.1 3-2 已知系统脉冲响应t e t k 25.10125.0)(-=试求系统闭环传递函数)(s Φ。

解 Φ()()./(.)s L k t s ==+001251253-3 一阶系统结构图如图3-45所示。

要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。

图3.38 题3-3图解 由结构图写出闭环系统传递函数111)(212211211+=+=+=ΦK K sK K K s K sK K s K s令闭环增益212==ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03321≤==K K T t s ，得：151≥K 。

3-4 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图 3.39 所示。

如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。

图3.39 题3-4图 解：由图2.8知，开环传递函数为3-5 设角速度指示随动统结构图如图3-40所示。

若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少？图3-40 题3-5图解：依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11T -=λ。

写出系统闭环传递函数Ks s Ks 101010)(2++=Φ 闭环特征多项式20022021211010)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=T s T s T s K s s s D 比较系数有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=K T T 101102200 联立求解得 ⎩⎨⎧==5.22.00K T 因此有 159.075.40''<''==T t s3-6 图3.41所示为某控制系统结构图，是选择参数K 1和K 2，使系统的ωn =6，ξ=1.3-7 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1）01011422)(2345=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2345=+++++=s s s s s s D （3）022)(45=--+=s s s s D（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D解（1）1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 εε124- 10 S 6 S 0 10第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）483224123)(2345+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 12 32S 4 3 24 48S 33122434⨯-= 32348316⨯-= 0 S 2424316412⨯-⨯= 48 S 1216448120⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,S 24 辅助方程求导：024=sS 0 48系统没有正根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。

（3）022)(45=--+=s s s s DRouth ： S 5 1 0 -1S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-sS 3 8 0 辅助方程求导 083=sS 2 ε -2 S ε16S 0 -2第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224=-s 可解出： ))()(1)(1(2224j s j s s s s -+-+=-))()(1)(1)(2(22)(45j s j s s s s s s s s D -+-++=--+= （4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s sS 3 8 96 辅助方程求导 09683=+s sS 2 24 -50 S 338/3S 0 -50第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程05048224=-+s s 可解出： )5)(5)(1)(1(25048224j s j s s s s s -+-+=-+)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=3-8 对于图3.42所示系统，用劳斯（Routh ）稳定判据确定系统稳定时的 k 取值范围。

图3.42 题3-8图解：闭环系统的特征方程为：k(s+1)+s(s3+4s2+2s+3)=0s4+4s3+2s2+(k+3)s+k=0Routh 表：根据Routh 判据使系统稳定应满足：∴ 0<k<13-9 设单位反馈控制系统的开环传递函数为要求确定引起闭环系统持续振荡时的k值和相应的振荡频率ω。

解：闭环特征方程为：s4+12s3+69s2+198s+(200+k)=0根据劳斯判据列劳斯表如下：由152.3-0.23k=0 可求得使系统闭环时产生持续振荡的k值k=662.13将上述k 值代入辅助方程52.5s2+200+k=0令s=jω,代入上述方程得到相应的持续振荡频率ω= 4.05 rad/s3-10 已知一系统如图3.43 所示,试求（a）使系统稳定的k值的取值范围。

（b）若要求闭环系统的特征根都位于 Res=-1 直线之左，确定k 的取值范围。

图3.43 题 3-10图 解：(a) 闭环特征方程：s(0.1s+1)(0.25s+1)+k=0 0.025s3+0.35s2+s+k=0根据Routh 判据使系统稳定应满足： k>00.35>0.025k ∴ 0< k<14(b) 令 s=z-1 并代入特征方程并整理得： 0.025z3+0.275z2+0.375z+0.675+k=0 ∴0.275×0.375>0.025 (0.675+k) 0<k<3.45 此时 z 〈0 既 s<-13-11.某控制系统的方框图如图3.44所示，欲保证阻尼比ξ=0.7和响应单位斜坡函数的稳态误差为ss e =0.25,试确定系统参数K 、τ。

图3.44 题3-11图3-12 系统结构图如图3.45所示。

已知系统单位阶跃响应的超调量σ%3.16=%，峰值时间1=p t s 。

（1） 求系统的开环传递函数)(s G ； （2） 求系统的闭环传递函数)(s Φ；（3） 根据已知的性能指标σ%、p t 确定系统参数K 及τ； （4） 计算等速输入s t t r )(5.1)(︒=时系统的稳态误差。

图3.45 题3-12图解 （1） )110(10)1(101)1(10)(++=+++=ττs s K s s s s s K s G（2） 2222210)110(10)(1)()(nn n s s K s s Ks G s G s ωξωωτ++=+++=+=Φ （3）由 ⎪⎩⎪⎨⎧=-===--113.16212ξωπσςξπn p oooo t e 联立解出⎪⎩⎪⎨⎧===263.063.35.0τωξn由（2） 18.1363.31022===n K ω，得出318.1=K 。

（4）63.31263.01018.1311010)(lim 0=+⨯=+==→τK s sG K s v413.063.35.1===v ss K A e 3-13 已知系统框图如图3.46 和图3.47) 所示试求 (1) 图3.46所示系统的阻尼系数并简评其动态指标，(2) 若加入速度反馈成图3.47，对系统的动态性能有何影响？ (3) 欲使系统(b) 的阻尼系数 ξ=0.7 时 ，应使 k 为何值？图3.46图3.47解： 图 (a) 的闭环传递函数：(2)图(b)的闭环传递函数：所以阻尼比ξ随k ’的增加而增加。

∴加入速度反馈可使阻尼比ξ增加，使系统的超调量减少，过度过程时间减少。

(3)当ξ=0.7时，则3.14 单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，)1(2)s )(2+++=s s s K s G （（1）试确定使系统稳定的K 的取值范围（2）求输入函数分别是单位阶跃和单位斜波时系统的稳态误差。

解：(1)系统的闭环特征方程：2)1(0)2()1(232=++++=++++K s K s s s K s s s使系统稳定的K 的取值范围 K<1 (2))1(1)2K(s/2)1(2)s )(22+++=+++=s s s s s s K s G （系统含有一个积分环节，为Ⅰ型，对单位阶跃输入的稳态误差为0，对斜坡输入的稳态误差为1/2K(K<1)3-15 对如图3.4 所示的系统，当r(t)=4+6t, f(t)=-1(t)时 ，试求(1) 系统的静态误差，(2) 要想减少关于扰动f(t) 的静差，应提高系统中哪一部分的比例系数，为什么？图3.4 解： (a) r(t)=4+6t系统的开环传递函数：对给定r(t)的静态误差设扰动之前的传递函数为k1，扰动之后的传递函数为对扰动 f(t)=-1(t)的静态误差ess2这里 k1=4 所以e ss2=0.25∴系统的静态误差e ss=e ss1+e ss2=0.6+0.25=0.85(b) 从(a)可看出对扰动的静态误差 e ss2=1/k1所以要想减少关于扰动f(t) 的静差，应提高系统中第一部分的比例系数 k13-16 对如图3.49所示的系统，，试求(1)当r(t)=0, f(t)=1(t)时系统的静态误差e ss，(2)当r(t)=1, f(t)=1(t)时系统的静态误差e ss，(3)说明要减少e ss，应如何调整k1和k2，(4)在扰动f作用点之前加入积分单元，对静差e ss有什么影响，若在 f 作用点之后加入积分单元，结果又如何？图3.49解：(1)(2) r(s)=1/s 引起的静态误差为e ss2系统的静态误差(3)由(b)知∴增大 k1 可使静态误差减少分析k2对e ss2的影响，e ss对k2求偏导得：当k1 <1时，∴ess 随 k2的增大而增大当 k1>1 时∴ess 随 k2 的增大而减小(4) 在扰动作用点之前加入积分单元，扰动 F(s)=1/s 引起的静态误差在扰动作用点之后加入积分单元，扰动 F(s)=1/s 引起的静态误差。

3-17 已知单位反馈系统的闭环传递函数为试求单位斜坡函数输入和单位加速度函数输入时系统的稳态误差。

解：系统开环传递函数：单位斜坡函数输入时 R(s)=1/s2单位加速度函数输入时 R(s)=1/s33-18 设一随动系统如图3.50所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间s 1=p t ， （1）求增益K 和速度反馈系数τ。