《实数》复习与回顾
一、知识梳理
1.平方根
（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的的算术平方根是_____。
（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于，即_____，那么这个数x就叫做的_______。
（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。
（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。
2.立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于，即_____，那么这个数x就叫做的立方根。
（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。
正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。
（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。
3.实数
（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。
（2）实数的定义： _____和_____统称实数。
（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。
（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。
（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有
理数范围内的意义_____。
4.实数的运算：
（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。
（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为
__________；__________。
二、考点例析
考点1 平方根、立方根的定义与性质
例1 （1）下列各数是否有平方根若有，求出其平方根；若没有，说明理由。
①625 ②（－2）2③（－1）3
（2）下列各数是否有立方根若有，求出其立方根。
① ②－343 ③－22
分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。
（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方
根。
解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±=±25；②因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±=±2；③因为（－1）
3=－1<0, 故其不存在平方根。
（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。
①；② ；
③－22的立方根。
说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。
考点2 实数的分类与性质
例2 下列各数中：
－，，, －π,,－,0,0.,,,2.…
其中有理数有__________________________；
无理数有__________________________。
分析：对于、等应先化简再判断。
解：有理数：－，,0,,,
无理数有：,－π,,－,2.……
说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。
例3 的相反数是；的绝对值是；－的倒数是。
分析：如果表示一个正实数，那么－就表示一个负实数，与－互为相反数；0的相反数依然是0。
一个正实数的绝对值是它本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
非零实
数a的倒数是。
解：的相反数是1－；的绝对值是；－=－，所以－的倒数是－。
说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是一样的。
考点3 实数的运算
例4 （1）计算：
（2）化简得（）
（A）－2 （B）（C）2 （D）
分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。
（1）=×=；
（2）=－2。
故选（A）。
说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。
值得注意的是，在进行开方运算时，正
实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。
考点4 非负数
例5 已知，为实数，且，则的值为（）.
（A）3 （B）－3 （C）1 （D）－1分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实
数的算术平方根、实数的偶次方。
它有一个非常重要的性质：
若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。
利用这个性质
可解本题，
解：由题意，得，，即，，所以。
故选（D）。
说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。
考点5 数形结合题
例6 已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a－b｜－｜a＋b｜
分析：要化简｜a－b｜－｜a＋b｜，需根据数轴上a、b的位置判断a－b和a+b的符号。
解：因为a>0，b<0，且∣a∣<∣b∣，所以a－b>0，a+b<0，所以原式=（a－b）+（a+b）=a－b+a+b=2a
说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。
考点6 探究题
例7 阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
（1）、观察上面的解题过程，请直接写出式子：
（2）、利用上面所提供的解法，请化简：
分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。
解：（1）。
==。
说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。
三、易错点例析
1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透
理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根
时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“”成了平方根等等。
例1 （1）求6的平方根（2）求的算术平方根
错解：（1）；（2）的算术平方根是9
错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中=9，的算术平方根其实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。
正确解法：（1）；（2）的算术平方根是3。
例2 求64与－27的立方根。
错解：64的立方根是±4，－27没有立方根。
错解分析：64的立方根是4，只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；－27的立方根
是－3，错误地认为－27没有立方根是与负数没有平方根
相混淆。
正确解法：因为43=64，所以64的立方根是4。
因为（－3）3=－27，所以－27的立方根是－3。
2、忽略平方根成立的条件
只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。
例3 当m取何值时，有意义
错解：不论m取何值时，都无意义。
错解分析：考虑不全，漏掉了m=0时的情况。
正确解法：当m=0时，－m2=0，此时有意义。
3、实数分类时只看表面形式
对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。
例4 下列各数－2、、、－、、（－）2、、中无理数有
．
错解：无理数有、－、、（－）2、。
错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。
其实能化简的应先化简，－=－3，（－）2=7，=2，所以它们是有理数。
正确解法：无理数有、。
4、运算错误
在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。
例5 化简（1）5 （2）
错解：（1）5=5=2；
（2）==（－3）×（－5）=15
错解分析：（1）中合并同类二次根式时丢掉了从而出错；（2）中忽略了公式的应用条件，即a≥0，b≥0，因为负数没有平方根，
虽然最后结果正确，但解法是错误的。
（2）===3×5=15。
正确解法：（1）5=5=2；。