{2[100]}{3[111]} = {?}
-0 -0 -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -0 = -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
立 方 晶 系
x
-0 -0 -1 -0 -0 -1
(110)
(111) (111)
(111)
(111)
100 (001) (010) (100)
001 010
001
010 001
010
z
100
100
x
(101) (011) (110)
y
110 011 011
110 101 101
110 011 011
(110)
110
100
110
(111) (111)
4、操作的乘法满足结合律
1 (L1)
三 斜 晶 系
极射赤面（平）投影
一般形
1 (C)
三 斜 晶 系
2 (L2)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
m (P)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
2/m (L2PC)
y
x
四 方 晶 系
4 (L4)
y
x
4/m (L4PC)
四 方 晶 系
x y
4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
{4[001]}{m[001]} = {43[001]}
-0 -1 -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -1 = -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1
4或4沿c
3或3沿c 6或6沿c
4、4、2或2 沿<100>
2或2沿a±b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b 2或2沿<110>
3或3沿<111>
六 方 晶 系
6 (L6)
y
x
改成六个面
6/m (L6PC)
六 方 晶 系
改成六个面
y
x
{6[001]}{m[001]} = {35[001]}
四 方 晶 系
4mm (L44P)
y
x
四 方 晶 系
4/mmm (L44L25PC)
y
x
422 (42,
四 方 晶 系
x
{4[001]}{2[010]} = {2[110]}
-0 -1 -1 -0 -0 -0
44L2) L
y
-0 -0 -1
-1 -0 -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
-0 -1 = -1 -0 -0 -0
x
y
3m (L33L23PC)
三 方 晶 系
x
y
y x
复习：
第三讲
晶体投影
意义： 1、投影是研究晶体外形和结构
的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达 晶体点群中对称要素的空间分布。
极射赤面投影
球面
N
Op = r tan(/2)

A
r
P
基圆
基圆平面
O
p

/2
球面坐标：极距角、方位角。 S
纬线、经线、子午面。
晶系
三 斜
单 斜 正交 四方 三方
特点
a ≠ b ≠ c, ≠ ≠
a ≠ b ≠ c, = = 90o ≠ a ≠ b ≠ c, = = = 90o a = b ≠ c, = = = 90o a = b ≠ c, = = 90o, = 120o a = b = c, = =
2/m (L2PC)
y
4 (Li4)
42m (Li42L22P)
x
第六讲
点群(II)
符号的顺序
晶系
三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方
在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3
只用一个符号 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
2或2沿a 2或2沿b 2或2沿a和b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿c
6 (S35, Li6)
6 (S35, Li6) = 3+P
x’ y’ z’ -1 -1 = -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1 x y z
对称操作元素
4 (S43, Li4)
4 (C4, L4)
4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1
4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1
2/m
mmm
两个2(C2)或2(m) 正 交 4(C4)或4(S43)
四方 三方 六方 立方
4/mmm
3m
3(C3)或3(S6
5)
菱形
6(C6)或6(S35)
a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = = = 90o
6/mmm
m3m
四个三次轴
Crystal family Crystal system Triclinic Monoclinic Orthorhombic Tetragonal Hexagonal Cubic Total: 6 7 Trigonal Hexagonal
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
-1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
{M[001]}{2[001]} = {1}
-1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -0 = -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1
2 (L2)
2 (C2, L2)
+
+
+ + _ + _ +
1 (i, C)
+
_
,
+
+ _
x’ y’ z’
-1 -0 = -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
x y z
_
,
,
2 (P), m
_ ,+
,+
+ _
,
+
3 (S65, Li3)
3 (S65, Li3) = 3+C
x’ y’ z’ -0 -1 = -1 -1 -0 -0 -0 -0 -1 x y z
-0 -0 -1
四 方 晶 系
y
4 (Li4)
x
四 方 晶 系
42m (Li42L22P)
y
x
1 (L1) 1 (C)
2 (L2)
m (P)
222 (3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC)
4 (L4) 4/m (L4PC) 4mm (L44P) 4/mmm (L44L25PC) 422 (42, L44L2)
晶系
晶系是由晶体的对称性来划分的。
各种不同的真旋转和非真旋转操作应用于单胞的 各个轴或点阵平移矢量，对单胞的几何形状(晶胞 参数)产生限制，导致七种晶系，即晶系是对称性 要求的结果。
七种晶系
对称条件
1(E)或1(i)
2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65)
110 101 111
001
111
(111) (111)
001 100 010
(111) (111)
010
011 111
011 111
010
y
101 110
100
110
x
Cu单晶体的极射赤面投影
45o 54o44’ 35o16’ 60o
001
23 (3L24L3)
100
010
y
100
110 101 111
单 斜 晶 系 ( 主 轴 b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
m (P)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
2/m (L2PC)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
222 (3L2)
-1 -1 -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -1 = -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1
六 方 晶 系
6mm (L66P)
4mm (L44P)
y
y
x
x
6/mmm (L66L27PC)
六 方 晶 系
y
4/mmm (L44L25PC)
正 交 晶 系
x
{2[001]}{2[100]} = {2[010]}
-1 -0 -0 -1 -0 -0
y
-0 -0 -1
-1 -0 -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
-1 -0 = -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
正 交 晶 系
mm2 (mm;L22P)
y
x
正 交 晶 系
mmm (3L23PC)
三 方 晶 系
x
y
3/m?
32 (L33L2)
三 方 晶 系