11 X1 12 X 2 13 X 3 1C 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2C 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3C 0
⑶ 求系数和自由项，解方程
X2=1 5m
1 5m M2 图, FR2
11
125 3EI
m3
22
500 3EI
m3
12
21
125 2EI
m3
X1=1 5m
X2=1
1
1 X3=1
1 5m
5m M1 图, FR1
5m 1 5m M2 图, FR2
33
10 EI
13
31
25 2EI
m2
1 M3 图, FR3
23
32
75 2EI
m2
1P
F R1i
Ci
(1 0.02m 5m 0.03rad )
0.13m
2P
F R2i
⑶ 内力仅由多余未知力产生 ⑷ 内力与EI 的绝对值有关
例6-11： 试求图 (a) 所示结构在支座位移作用下的弯矩图。
(a)
X2 X3 X1
X1=1
0.01m 5 m
0.03rad
0.02m 5 m
(b) 基本体系
1 5m
5m M1 图, FR1
5m 解法一：⑴ 选择基本体系。3次超静定。
⑵ 建立力法方程。
)
(
l 2
l 4
)
ql 2 12
A
ql 4
()
384EI
ql2
A1
y
2
ql2
24
1
C
y1
A2 l/4
3）单位荷载加在基本体系II上
q
X1
ql 2 12
12
A
A2 A1 C
ql2
A
B
C
基本体系 II
X2
ql 2
l/2
A
y2
24
y1
1 C
CV
1 EI
(
2 3
l 2
ql 2 8
)
(3 8
l 2
)
(
0.6 2
⑷ 求未知力
X1
1t
11
6800
EI 432
15.74EI ()
⑸ 作弯矩图 M MX1
当杆件有温差时，弯矩的受拉边出现在降温面，升温面产生压应力。
超静定结构在温度变化或支座移动作用下，杆件内力与杆件抗弯刚度EI 成正比。
§6-9 超静定结构的位移计算
对于某超静定结构，所选取的各种基本体系在外因（荷载、温度变化、 支座移动）以及未知力X共同作用下，其内力和变形与原结构完全相同。所以 求原结构的位移就转化为求基本体系的位移。
(
2 3
l 2
ql 2 8
)
(
5 8
l 8
3 8
l 8
)
ql 4 384EI
()
A
y1 C y2
l/8
ql2 12
B M图 l/8
B M图
2) 单位荷载加在基本体系I上
ql2
q
12
A
B
A
C
X1
ql 2 12
基本体系I
X1
ql 2 12
CV
1 EI
2(
2 3
l 2
ql 2 8
)
(
5 8
l 4
⑶ 求系数和自由项
X3=1
M3 图, FR3
11
500 3EI
m3
22
125 3EI
m3
33
10 EI
12
21
125 2EI
m3
13
31
75 2EI
m2
23
32
25 2EI
m2
代入方程，解得
X1
0.48EI 125
,
X2
0.06EI 125
,
X3
0.42EI 25
2、温度内力的计算
t1
AM
讨论:
⑴ 自由项的意义
⑵ 内力仅由多余未知力产生
M M1X1 M2X2
⑶ 内力与EI 的绝对值有关
例6-12：如图示刚架，混凝土浇筑时温度为15。Ｃ，到冬季时室外温度为-35 。 Ｃ,室内保持不变，求M 图。各杆EI 相同，线膨胀系数为α。
-35℃ -35℃
6m -50℃ -50℃
-35℃
h
X1 1
1
h
1
1
l
l
1
F R1
h
lபைடு நூலகம்
X2 1
1
F R2
l
2c
b a
11 X 1 12 X 2 1c 0
21 X 1
22 X 2
2c
ic F R i c
1c
1 a
h l
b
a
hb l
2c
1 b l
b l
1c “c”
M M1X1 M2X2
讨论: ⑴ 等号右端可以不等于零 ⑵ 自由项的意义
5m
1
1
X1
X2
X3 基本体系
⑵ 建立力法方程。
X1=1 M1 图, FR1
X2=1 M2 图, FR2
11 X1 12 X 2 13 X 3 1C 0.02 21 X1 22 X 2 23 X 3 2C 0.01 31 X1 32 X 2 33 X 3 3C 0.03
l 2
ql 2 12
)
(
1 2
l 2
)
ql 4 384EI
()
ql2 12
B M图
B M图
ql2 12
B M图
M图
2、支座移动
图 (a) 所示结构的M 图已求出，见图(b)。欲求截面B的转角 B。
3EI
l2
A
EI, l
B
A
BA
EI, l
B
(a) B
t1
t1
t1 t2
t1 t2
t1 t2
建立力法方程
X1 X2
2t 1t
11 X 1 12 X 2 1t 0 21 X 1 22 X 2 2t 0
画出 M 1, M 2 , F N1, F N 2 图， 计算系数和自由项。
计算自由项： 1t , 2t
it
toAN
t h
用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以
加在任选的基本体系上，即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上
进行。
1、荷载作用
例7-6：求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数。 ql2
q
A
B
C
l/2
l/2
12
A
A2 A1 C
ql2
解：1) 单位荷载加在原结构上
l/8
24
1
CV
2 EI
11
1 EI
(2
63 3
68 6)
1 EI
(144
288)
432 EI
-50℃
6
6 94.4
94.4
FN 1
-50℃ -50℃
0℃
X1
基本体系
M1, F N
X1= 1
M 图 (EIα)
1t
()
t
h
Mdx
t0
F N dx
50 (2 1 6 6 68) (25) (1) 8] 6800
15oC 400
600 8m
-50℃ 0℃
基本体系
6 X1
FN 1
M1, F N
6 X1= 1
解：⑴ 温度改变值： t1 35 15 50C t | 50 0 | 50C
⑵ 力法方程
11 X1 1t 0
t2 15 15 0C t0 (50 0) / 2 25C
⑶ 求系数和自由项
Ci
(1 0.01m 5m 0.03rad )
0.16m
3P (1 0.03rad) 0.03rad
0.06
代入方程，解得
X1
0.48EI 125
m2
X2
0.06EI 125
m2
X3 0
⑷ 作弯矩图。 M M1X1 M 2 X2 M 3X3
0.42
M 图 (EI/m)
解法二：⑴ 选择基本体系。 5m 5m