交大附中高一期末数学试卷
一. 填空题
1. 无限循环小数0.036
化成最简分数为 2.
函数y =的定义域是
3. 若{}n a 是等比数列，18a =，41a =，则2468a a a a +++=
4. 函数()tan cot f x x x =+的最小正周期为
5. 已知,a b R ∈且2lim()31
n an bn n n →∞+-=+，则22a b += 6. 用数学归纳法证明“11112321
n n +++⋅⋅⋅+<-*(,1)n N n ∈>”时，由n k =(1)k >不 等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数共 项
7. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
若a =2c =，120A ︒=， 则ABC S ∆=
8. 函数()arcsin(cos )f x x =，5[
,]46x ππ∈的值域为 9. 数列{}n a 满足12225222
n n a a a n ++⋅⋅⋅+=+，*n N ∈，则n a = 10. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[sin1][sin 2][sin3][sin10]+++⋅⋅⋅+=
11. 已知225sin sin 240αα+-=，α为第二象限角，则cos 2α
=
12. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学 科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形 规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是
13. 数列{}n a 满足：,21(0.5),2n n n q n k a n k
⎧=-⎪=⎨=⎪⎩，*k N ∈， {}n a 的前n 项和记为n S ，若lim 1n n S →∞
≤，则实数q 的 取值范围是
14. 已知数列{}n a 满足：1a m =*()m N ∈，1
0.531n n n
a a a +⎧=⎨+⎩ n n a a 当为偶数时当为奇数时，若61a =， 写出m 所有可能的取值
二. 选择题
15. 设a 、b 、c 是三个实数，则“2b ac =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
16. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>>≤
局部图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为（ ）
A. 3sin(2)26y x π=
+ B. 3sin(2)26y x π=- C. 3sin(2)23y x π=+ D. 3sin(2)23
y x π=- 17. 若数列{}n a 对任意2n ≥()n N ∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面给出关于数 列{}n a 的四个命题：① {}n a 可以是等差数列；② {}n a 可以是等比数列；③ {}n a 可以既 是等差又是等比数列；④ {}n a 可以既不是等差又不是等比数列；
则上述命题中，正确的个数为（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
18. 若数列{}n a 前12项的值各异，且12n n a a +=对任意的*n N ∈都成立，则下列数列中可 取遍{}n a 前12项值的数列为（ ）
A. 31{}k a +
B. 41{}k a +
C. 51{}k a +
D. 61{}k a +
三. 解答题
19. 已知函数()cos2sin 22f x a x x a b =-++(0)a ≠，[0,
]2x π∈，值域为[5,1]-，
求常数a 、b 的值；
20. 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了他们的工资标准：A 公司允诺第 一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B 公司允诺第一年月 工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资分别是多少；
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？
21. 如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，
1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥，点P 在 边AB 上，设MOD θ∠=；
（1）若30θ︒=，求三角形铁皮PMN 的面积；
（2）求剪下的三角形铁皮PMN 面积的最大值；
22. 在xOy 平面上有一点列111(,)P a b 、222(,)P a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n P a b 、⋅⋅⋅，
对每个正整数n ， 点n P 位于函数1000()6x
a y =(06)a <<的图像上，且点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一 个以n P 为顶角顶点的等腰三角形；
（1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式；
（2）若对每个自然数n ，以n b 、1n b +、2n b +为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；
（3）设12n n B bb b =⋅⋅⋅*()n N ∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{}n B 的 最大项的项数是多少？试说明理由；
23. 设递增数列{}n a 共有k 项，定义集合{|,1}k i j A x x a a i j k ==+≤<≤，将集合k A 中 的数按从小到大排列得到数列{}n b ；
（1）若数列{}n a 共有4项，分别为11a =，23a =，34a =，46a =，写出数列{}n b 的各 项的值；
（2）设{}n a 是公比为2的等比数列，且10.52a <<，若数列{}n b 的所有项的和为4088， 求1a 和k 的值；
（3）若5k =，求证：{}n a 为等差数列的充要条件是数列{}n b 恰有7项；
参考答案
一. 填空题 1. 255 2. [1,2] 3. 8516
4. π
5. 17
6. 2k
7. 8. [,]34ππ- 9. 114,12,2
n n n +=⎧⎨≥⎩ 10. 4- 11. 35 12. 144 13. 1
(1,]2- 14. 4、5、32
二. 选择题
15. B 16. D 17. C 18. C
三. 解答题
19. 2a =，5b =-；或2a =-，1b =；
20.（1）A 公司：7500500n +；B 公司：18000(15%)n -+；
（2）A 公司十年月工资总和为1230000，B 公司十年月工资总和为1207476，选A 公司；
21.（1）
68+；（2）34
+；
22.（1）0.51000()6n n a b +=；（2）36a <<；（3）16B 最大，因为161b >，171b <； 23.（1）14b =，25b =，37b =，49b =，510b =；
（2）11a =，(21)(1)4088k k --=，9k =；（3）略；。