i
如果X P E( X ), 则称{Xn }服从大数定律.
说明：
(1)X P E( X ), 即对 0, lim P{ X E( X ) } 1. n
或表为: 对 0,
lim P{
n
1 n
n i 1
Xi

1 n
n i 1
E(Xi )
}
P( X E( X ) 2) P( X 7 2) 2
( X可取1, 6)
P( X 1) P( X 6) 2 1 63
1时,
D( X ) 35 2
2
P( X E( X ) 1) 12 3
2时,
D( X ) 1 35 35 1
(1)
另一种形式
lim P{
n
Xn
a
}
0
(2) 对N ,n N时,
落在邻域U
(a
,

)外的X
个数有限,测度为0.
n
(3) 设X n P a, Yn P b, 则X n Yn P a b. X n .Yn P a.b, X n / Yn P a / b(b 0)
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400间的概率不小于8/9 .
二、依概率收敛简介
1、数列极限的定义
lim
n
X
n

a

对

0,
N ,
n
N时,
Xn a
n N时, P{ Xn a } 1, 必然事件.
p( A)
核心: X1, X2 , ..., Xn满足什么条件时,
1 n
n i 1
Xi
P
1 n
n i 1
E(Xi
)
即满足什么条件时, X P E( X )
1、大数定律的概念
设
{Xn }为一随机变量序列(n=1, 2, ...),
X

1 n
n i 1
X
为序列算术平均值,
（证明见下页） 说明：
重要性在于不知道X的分布(f(x),pk )情况下,通过
E(X)估计事件{X }的概率下限.
证明: 以连续型X证明, 设X的概率密度为f(x). X只取非负值, 故x 0时, f ( x) 0



E( X ) xf ( x)dx x f ( x)dx x f ( x)dx
0
0



x f ( x)dx



f ( x)dx

P{X }
改写为: P{X } E( X )
2、切比雪夫不等式
设随机变量X的E( X )存在, D( X ) 2 , 则对 >0,有
P{| X E( X ) | } 2 , 或 P{| X E( X ) | } 1 2
1.
（2）即大量随机变量的算术平均数是一个稳定值，非随机量
(3)大数定律即研究在什么条件下,X P E( X ).
2、切比雪夫大数定律
2
P( X E( X ) 2) 4 12 48 3
对 1, 2,
P(
X

E( X )
)
D( X )
2
例2 已知正常男性成人每毫升血液中的白细胞数平均是 7300，均方差是700 。利用切比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在5200~9400之间的概率下界。
6
2
(k 1, 2, ..., 6)
D( X ) 1 (12 22 ... 62 ) ( 7 )2 35
6
2 12
P( X E( X ) 1) P( X 7 1) 2
( X 可取1, 2, 5, 6)
P( X 1) P( X 2) P( X 5) P( X 6) 4 2 63
(4) 设Xn P a, 函数y g( x)在x a连续,则g( Xn ) P g(a).
三、大数定律（难点）
背景：
大数定律研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值 收敛于其均值的算术平均值。
特例：频率的稳定性。
Rn ( A)
nA n

1ห้องสมุดไป่ตู้n
n i 1
Xi
n
解：设每毫升白细胞数为X。 依题意，E(X)=7300，D(X)=7002
P(5200 X 9400) P(5200 7300 X 7300 9400 7300)
P(2100 X E(X) 2100) P( X E(X) 2100)
1 D( X ) (2100)2
2、依概率收敛的定义
设 {Xn }为一随机变量序列(n=1, 2, ...), a R, 若对 0,
lim P{
n
Xn
a
} 1,
则称{Xn }依概率收敛于a.记作 : Xn P a.
对N, n N时, P{ Xn a } 1, 非必然事件.
说明：
2
2
重要性: 不知道X的分布(f(x),pk )情况下,通过E(X),D(X)
估计事件{ | X E( X ) | }的概率下限. 如取 3 , 则P{| X E( X ) | 3 } 2 0.111
9 2
证明 : P{| X E( X ) | } P{[ X E( X )]2 2}
E{[ X E( X )]2 )

2
D( X )
2
例1 设X是掷骰子出现的点数,给定 1, 2,实际计算 P( X E( X ) ),并验证切比雪夫不等式成立.
解 : X的概率分布律为: P( X k) 1
6
E( X ) 1 (1 2 ... 6) 7
第四节 切比雪夫不等式与大数定律
主要内容（1.5学时）
一、切比雪夫不等式 二、依概率收敛简介 三、大数定律（难点）
1、切比雪夫大数定律 2、伯努利大数定律 3、辛钦大数定律
一、切比雪夫不等式
1、马尔科夫不等式 设X是只取非负值的随机变量,且具有数学期望E( X ), 则
对于任意正数 ,有 P{X } E( X )