并且方差是一致有上界的，即存在常数C，使得
DX i C, i 1,2,..., n,..., 则对于任意的正数
，有
1 n 1 n lim P(| X i EX i | ) 1 n n i 1 n i 1
10
证：我们用切比雪夫不等式证明该定理。
1 n 1 n E ( X i ) EX i n i 1 n i 1
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i 1
切比雪夫定理的一个重要推论就是著名的伯努利定理 定理3： 在独立试验序列中，设事件A的概率 P（A）=p，则对于任意的正数 ，当试验的次数 n 时，有 lim P(| f n ( A) p | ) 1
n
其中 f n ( A) 是事件A在n次试验中发生的频率 证明：设随机变量 X 表示事件A在第i次试验中发生 i

事件 X EX 的概率应该与DX有关。用数学式子表 示出来，就是下述的切比雪夫不等式。 定理1 设随机变量X具有数学期望EX=a，和方差 则对于任意正数ε ，不等式 成立，这一不等式称为切比雪夫不等式。下面只对连 续型随机变量的情形 证明该不等式。
4
证：设随机变量有密度函数 ，则
(因被积函数大于等于0)
1 n 1 n lim P(| X i p | ) 1 n n i 1 n i 1
第十一单元
§3.5切比雪夫不等式与大数定律
教学目的： 1.理解切比雪夫不等式与大数定律 2.会用切比雪夫不等式及大数定律解题 教学重点：用切比雪夫不等式及大数定律解题 教学难点：用切比雪夫不等式及大数定律解题
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第五章 大数定律与中心极限定理 瑞士 策马特峰
2
切比雪夫( chebyshev)不等式
0.1875n P| X 0.75n | 0.01n 1 2 (0.01n) 令 0.1875n 1 0.90 2 (0.01n) 解得 n 18750
8
大数定律
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 的概率是指：
nA nA 频率 与 p 有较大偏差 p 是 n n
1 n 1 n P(| X i EX i | ) 1 所以有 lim n n i 1 n i 1 切比雪夫定理说明：若独立随机变量
的数学期望与方差存在，且方差一致有上界，则经过 n 1 算术平均后得到的随机变量 X X i ，当n充分大
n
时，它的值将比较紧密地聚集在它的数学期望 EX 的附近，这就是大数定律
DX
i 1
i
nC
，由此得
11
1 n 1 n C P(| X i EX i | ) 1 2 ，当 n i 1 n i 1 n
n 时，得
1 n 1 n lim P(| X i EX i | ) 1 ，但是概率不能大于1， n n i 1 n i 1
E ( X ) 0.75 n, D( X ) 0.1875 n
X 要使 P 0.74 0.76 0.90 ，求 n n
7
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即 P0.74 n X 0.76 n 0.90 即 P| X 0.75n | 0.01n 0.90 由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
5000 E ( X ) 1000, D( X ) 6 1 X P 0.01 6000 6 5000
83 6 P(| X 1000 | 60) 1 2 0.7685 108 60
6
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75)
nA n “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
9
定理2：设随机变量
相互独立，且数学期望
和方差分别为，EX 1 , EX 2 ,..., EX n ,... DX 1 , DX 2 ,..., DX n ,...
由
1 n 1 D( X i ) 2 n i 1 n
的相互独立性，
DX
i 1
n
i
应用切比雪夫不等式，得
1 n 1 n 1 P(| X i EX i | ) 1 2 2 n i 1 n i 1 n
n
DX
i 1
n
i
因为 DX i C (i 1,2,..., n) ，所以
的次数（i=1,2,…,n,…），则这些随机变量相互独， 服从相同的“0-1”分布，并有数学期望与方差：
1 EX i p, DX i p(1 p) , i 1,2,..., n,... 4 于是，有切比雪夫定理得
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易知 X i 就是事件A在n次试验中发生的次数 n A
i 1
(由方差的定义)
切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下， 只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。
5
例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试 估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比 例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 )
设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 > 0,
P(| X E ( X ) | ) D( X )
2
D( X )
当 2 D(X) 无实际意义,
或 P(| X E ( X ) | ) 1
2
3

一、切比雪夫不等式 我们已知，随机变量X的方差DX表明X在其数学期望 EX的周围取值的分散程度。因此，对任意的正数