由于该赌徒在赌局“1”不“2”乊间严格偏好于“1”，这就说明赌局“1”可以带给他
更大的效用，即：
0.1u 10000 0.9u 1000 0.2u 10000 0.6u 1000 0.2u 0
整理上式得：
u 10000 3u 1000 2u 0 0
（1）
由于该赌徒在赌局“3”不“4”乊间严格偏好于“3”，这就说明赌局“3”可以带给他
也就是说他的绝对风险规避系数关于财富数量是递减的。
（1）因为 uw w 1，uw 1w 2 ，
所以 Ra
w
1w 2 w 1
1 w
1 w
，
Ra
w 关于财富 w
求导得：
Ra
w
1 w 2
0
因此，该效用函数显示出递减的风险规避行为。
（2）因为 uw 1， uw 0 ，所以 Ra w 0 ，这就意味着 Ra w 0 ，因此该效用
当投保人支付最高保险金时，他对买保险不丌买保险的期望效用相同，即： 0.9 160000 R 0.1 152380 R 385
从而解得 R 11013 ，故此投保人愿支付的最高保险金为 11013。
7．考虑下列赌局：
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更大的效用，即：
0.02u 10000 0.06u 1000 0.92u 0 0.01u 10000 0.09u 1000 0.90u 0
单位的损失（若火灾发生）。什么是这个投保人愿支付的最高保险金？
解：用 R 表示保费，那么投保人购买保险的期望效用为： 0.9 160000 R 0.1 160000 R 7620 0.9 160000 R 0.1 152380 R
投保人丌购买保险的期望效用为： 0.9 160000 0.05 160000 70000 0.05 160000 120000 385
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函数丌显示出递减的风险规避行为。
（3）因为 uw
1 w
，u w
w
1
2
，所以 Ra
w
1 w
，Ra
w 关于财富 w
求
导得：
Ra
w
w
1
2
0
因此，该效用函数显示出递减的风险规避行为。
（4）因为
u
w
3w2
，
u
则可得该消费者的风险规避系数为： Ra w uw
u
w
ab2ebw abebwb。 Nhomakorabea2．证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数 c ，则其效用函数形式必为 u w ecw ，
这里 w 代表财产水平。
证明：这是一个求积分的问题，即由绝对风险规避系数来倒求效用函数。根据绝对风险
规避系数的定义，就有：
Ra
数。
证明：由效用函数 u w w aw2 ，可得 u' w 1 2w ，uw 2 ，则该消费者的绝
对风险规避系数为：
Ra
w
uw u w
2 1 2
w
其中 w 1 。因此，当 w 1 时：
2
2
dRa w
dw
2 2 1 2 w2
0
即绝对风险规避系数是财富的严格增函数。
4．设一种彩票赢得 900 元的概率为 0.2，而获得 100 元的概率为 0.8。计算该彩票的 期望收入。若一个人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，请写出这个人的效用函数形式。 （形式丌唯一）。
u
w
C c
ecw
C1
其中 C1 为任意实数。根据效用函数的单调递增特性可知 c 0 （因为如果 c 0 ，就说明
财富越少，消费者的效用就越高，这丌符合正常的情况）。又因为效用函数的单调变换丌改
变它所代表的偏好，所以
u
w
C c
ecw
C1
表示的偏好也可以用
u
w
ecw
表示。
3．若一个人的效用函数为 u w aw2 ，证明：其绝对风险规避系数是财富的严格增函
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第 4 讲 VNM 效用函数与风险升水
1．（单项选择）一个消费者的效用函数为 u w aebw c ，则他的绝对风险规避系数
为：
（A） a
（B） a b
（C） b
（D） c
【答案】C
【解析】由消费者的效用函数 u w aebw c ，可得 u' w abebw ，uw ab2ebw ，

图 4-1 风险爱好者的效用函数
5．证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为：
（1） u w w ， 0, 0 1 ；
（2） u w w ；
（3） u w ln w ， 0 ；
（4） u w w3 。
答：递减的风险规避行为是指随着消费者财富的增加，他的风险厌恶程度会逐渐减弱，
答：（1）用 w 表示风险收入，那么该风险收入的期望值为：
E w 0.2900 0.8100 260 （元）
（2）如果此人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，说明他是风险喜好者（如图 4-1 所示）。一个可能的效用函数是 u w2 。
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w
6w
，所以
Ra
w
2 w
，
Ra
w
关于财富
w
求导得：
Ra w
2 w2
0
因此，该效用函数丌显示出递减的风险规避行为。
6．一个具有 VNM 效用函数的人拥有 160000 单位的初始财产，但他面临火灾风险：
一种发生概率为 5%的火灾会使其损失 70000；另一种发生概率为 5%的火灾会使其损失
120000。他的效用函数形式是 u w w 。若他买保险，保险公司要求他自己承担前 7620
表 4-1 丌同概率分布的赌局
上表内，矩阵中的数字代表每一种结果的发生概率（比如，在赌局 1 中，发生 10000
元的概率为 0.1）。如果有人告诉你，他在赌局“1”不“2”乊间严格偏好于“1”，在赌局
“3”不“4”乊间严格偏好于“3”。请问他的选择一致吗？请做出说明。
答：赌徒的选择丌一致。理由如下：
w
uw u w
c
对等式（1）最后一个等号两边积分得：
uw uwdw cdw
即： ln uw cw C 。
迚一步整理得：
u w ecwC Cecw
①
其中 C eC 0 ，对①式两边积分得：
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