u ( x) ≥ u ( y) ⇔ u( x) ≥ u ( y)
− −
−
定理2 效用函数存在性定理）： 定理2（效用函数存在性定理）： 如果消费者在消费集C 如果消费者在消费集 上的偏好关系 具有完备性、自返性，传递性和连续性， 具有完备性、自返性，传递性和连续性， 则存在一个能够代表偏好顺序的连续效 用函数u :C→R。 具体证明，参见黄有光、张定胜著《 具体证明，参见黄有光、张定胜著《高级 黄有光 微观经济学》 三联出版社， 微观经济学》，三联出版社，2009。 。
第4章 章
不确定性条件下的选择理论： 不确定性条件下的选择理论： 期望效用函数与风险厌恶
第一节 效用函数
效用utility是主观感受，人为设定的满意程度 是 感受， 效用 效用函数utility function是对满意程度的量化 效用函数 是对满意程度的量化 效用函数分为：序数效用、基数效用函数 效用函数分为：序数效用、 序数效用ordinal utility：效用之间只能排序 序数效用 ： 基数效用cardinal utility：用具体数值表示效用的大 基数效用 ： 小 期望效用： 期望效用：有多种结果时效用的数学期望 E（u）＝ 或 积分 （ ）＝ ）＝Σ
我们可以在消费束的集合上建立下面的偏好 关系（ 关系（preference relation）或者偏好顺序 ） （preference ordering）： ）：
弱偏好于x， 至少与y 一样好。 （1）x ≥ y 弱偏好于 ，x 至少与 一样好。 ） （2） ≻ y 强偏好于x ； ）x 强偏好于 但， 不成立。 y ≥ x 不成立。
2.效用函数定义
x 如果对于 ∀ , y∈C 有
x ≻ y ⇔u(x) ≻ u(y) 和 x ∼ y ⇔u(x) ∼ u(y)
成立，则函数关系 u : C → R 是一个代表 了偏好关系的效用函数。
定理1 定理1：
一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一 个效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好 关系： 关系： 是单调递增函数，则有： u ( x) ≡ f [u ( x)] 且 f (.) 是单调递增函数，则有：
B.期望效用原则 期望效用原则
Daniel Bernoulli （1700-1782） ） 是出生于瑞士名门著名数学家。 是出生于瑞士名门著名数学家。其在 年发表《对机遇性赌博的分析》 1738 年发表《对机遇性赌博的分析》 提出解决“圣彼德堡悖论” 提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险 度量新理论” 度量新理论”。 指出： 指出：人们在投资决策时不是用 “钱的数学期望”来作为决策准则， 钱的数学期望”来作为决策准则， 而是用“道德期望”来行动的。 而是用“道德期望”来行动的。而道 德期望并不与得利多少成正比， 德期望并不与得利多少成正比，而与 初始财富有关。 初始财富有关。穷人与富人对于财富 增加的边际效用是不一样的。 增加的边际效用是不一样的。
风险： 风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现 的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。 的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即 对于未来可能发生的所有事件， 对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的 概率有准确的认识。 概率有准确的认识。但对于哪一种事件会发生却事先 一无所知。 一无所知。 不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形， 不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形， 也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制 的事件，并且仅在做出决策后， 的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策 结果的一类问题。即知道未来世界的可能状态（ 结果的一类问题。即知道未来世界的可能状态（结 果），但对于每一种状态发生的概率不清楚。 ），但对于每一种状态发生的概率不清楚。 但对于每一种状态发生的概率不清楚 Knight 的观点并未被普遍接受。但是这一观点成为研 究方法上的区别。
该游戏的数学期望值： 该游戏的数学期望值：
1 1 1 1 n−1 E(.) = ×1+ × 2 + × 4 +⋯+ n × 2 +⋯= ∞ 2 4 8 2
但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游 戏愿意支付的成本（门票）仅为2-3元。 戏愿意支付的成本（门票）仅为 元 圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌 圣彼德堡悖论： 博，为何人们只愿意支付有限的价格？ 为何人们只愿意支付有限的价格？
（7）凸性（convexity） ） ≥ z, y ≥ z ⇒α x + (1−α) y ≥ z
严格凸性（strictly convexity） 严格凸性（ ）
∀x, y, z ∈C,ifx ≥ z, y ≥ z, x ≠ y ⇒αx + (1−α) y ≻ z
∀x, y, z ∈ C , ifx ≻ y , y ≻ z ⇒ x ≻ z
（4）连续性（continunity） ）连续性（ ） 对于任意的X、 ， 对于任意的 、y，集合 { x x ≥ y}和 { x x ≤ y} 是闭 集，则 { x x ≻ y}和 是开集。 { x x ≺ y}是开集。 即如果x是一组至少与 一样好的消费束，而且 即如果 是一组至少与y一样好的消费束， 是一组至少与 一样好的消费束 它趋近于另一消费束z， 至少同样好。 它趋近于另一消费束 ，则z与y至少同样好。这 与 至少同样好 样就可以得到一条连续的无差异曲线。 样就可以得到一条连续的无差异曲线。
现实中对风险和不确定性的处理
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际 由于对有些事件的客观概率难以得到， 中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测 未来的结果发生的可能性， 未来的结果发生的可能性，因此学术界常常把具有 主观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有 客观概率的不同结果的事件同时视为风险。 客观概率的不同结果的事件同时视为风险。 即风险与不确定性有区别，但在操作上， 即风险与不确定性有区别，但在操作上，我们引入 主观概率或设定概率分布的概念， 主观概率或设定概率分布的概念，其二者的界线就 模糊了，几乎成为一个等同概念。 模糊了，几乎成为一个等同概念。
（5）单调性（monotonicity） ）单调性（ ）
ifx ∀x, y ∈ C ， ≥ y ⇒ x ≥ y
单调性说明增加一点商品至少与原来的情况同样 好。只要商品是有益的，单调性就必然成立。 只要商品是有益的，单调性就必然成立。 强单调性说明同样的物品， 强单调性说明同样的物品，如果其中有些种类的 数量严格多于原来的物品， 数量严格多于原来的物品，消费者则必定严格偏 好于他们。 好于他们。
（2）自返性（reflexivity） ）自返性（ ）
∀ x ∈ C ，则有 x ≥ x 则有
自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明 显的一贯性。 显的一贯性。
（3）传递性 ）
∀x, y, z ∈ C
ifx ≥ y, y ≥ x ⇒ x ≥ z
传递性保证了消费者在不同商品之间偏好的首 尾一贯性。 尾一贯性。 同理： 同理：
（2）不确定性下的理性决策原则
A.数学期望最大化原则 A.数学期望最大化原则 数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各种 可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。 可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。 这一准则有其合理性， 这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行 准确的优劣比较， 准确的优劣比较 ， 同时这一准则还是收益最大准则在 不确定情形下的推广。 不确定情形下的推广。 问题： 问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定 性下的行为决策准则？ 性下的行为决策准则？
1.偏好关系的表述 1.偏好关系的表述 为商品（或者消费）集合， 令C 为商品（或者消费）集合，C 中有 M 种可供选择的商品。它是 维实数空间 种可供选择的商品。它是M 中的一个非负子集， 中的一个非负子集，它总是被假定为闭集 和凸集。x、y、z……是它的子集，或者称 是它的子集， 和凸集。x、y、z 是它的子集 之为商品束（commodity bundle）或者 之为商品束（ ） 消费束（ 消费束（consume boundle）。 ）。
（三）消费者效用最大化问题 令
m a x u (.)
s .t W
则最大化问题为： 则最大化问题为：
q = (q1,⋯, qm,⋯, qM ) ∈RM
. max u (.) st.z = {C ∈R : qc ≤W}
M +
上述约束式为瓦尔拉斯（ 上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集。 ）预算集。
x≻ y⇔ x≥ y
无差异于x （3） x ∼ y 无差异于 、y；即： ） ；
x∼ y⇔ x≥ y 和 y≥x
2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件： 2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件： 偏好应满足的基本公理 （1）完备性（completeness） ）完备性（ ） x ∼ y ∀ x, y ∈ C y ≥ x x ≥ y 中有一种关系成立。 中有一种关系成立。 完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。 完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。
一、个体行为决策准则
（一）偏好关系 效用是一种纯主观的心理感受， 效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时 而异。 而异。 偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上 的。 偏好关系（ 偏好关系（preference relation)是指消费者 是指消费者 对不同商品或商品组合偏好的顺序。 对不同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用 一种两维（或二元）关系（ 一种两维（或二元）关系（binary relation） ） 表述出来。 表述出来。
凸性可理解为边际替代率递减。 凸性可理解为边际替代率递减。
（二）确定性环境下的效用函数
1.基数效用与序数效用 1.基数效用与序数效用 基数效用： 基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的杰 文斯、奥地利的门格尔等认为， 文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可 以用他从享用或消费过程中所所获得的效用来度量。 以用他从享用或消费过程中所所获得的效用来度量。 对满意程度的这种度量叫做基数效用。 对满意程度的这种度量叫做基数效用。 序数效用： 序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托等 发现，效用的基数性是多余的， 发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全可以 建立在序数效用的基础上。 建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是以效用 值的大小次序来建立满意程度的高低， 值的大小次序来建立满意程度的高低，而效用值的 大小本身并没有任何意义。 大小本身并没有任何意义。