人教版八年级上册期中考前压轴题突破训练知识范围：第11-12章第11章1．如图，点A、B分别在射线ON、OM上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO 和∠ABO的角平分线，BC延长线交ON于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACB＝°；若∠MON＝90°，则∠ACB＝°；（2）若∠MON＝n°．请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）2．（1）如图1，△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．（2）如图2、3，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图2，若α+β＞180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）②如图3，若α+β＜180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）3．如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD＝°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀．剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出（n+1）个角，那么这（n+1）个角的和是°．4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，且CE交AD于点F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．（1）①直接写出AB和CD的位置关系：；②求证：∠EAD+∠ECD＝∠APC．（2）若∠B＝70°，∠E＝60°，求∠APC的度数；（3）若∠APC＝m°，∠EFD＝n°，请你探究m和n之间的数量关系．5．探究与发现：【探究一】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系，并证明你探究的数量关系．【探究二】三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图②，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．【探究三】若将△ADC改成任意四边形ABCD呢？已知：如图③，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系．6．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），固定三角板ACD，另一三角板BCE的CE边从CA边开始绕点C顺时针旋转，设旋转的角度为α．（1）当α＜90°时；①若∠DCE＝30°，则∠ACB的度数为；②若∠ACB＝130°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；（3）当0°＜α＜180°时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出α所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．7．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．8．已知，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，BE，DF分别为四边形ABCD的外角∠CBN，∠MDC的平分线．（1）如图1，若BE∥DF，求∠C的度数；（2）如图2，若BE，DF交于点G，且BE∥AD，DF∥AB，求∠C的度数．9．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系．10．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．第12章11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为多少时，△PEC与△QFC全等？12．在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD＝AB+CD；13．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC ＝∠CF A＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．14．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．15．已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一点，点C、D分别在射线OA、OB 上，连接PC、PD．（1）如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系是．（2）如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB＝90°，∠OCP+∠ODP＝180°，当PC⊥PD时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．16．阅读探索题：（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB ≌△AOC．（2）请你参考以上方法，解答下列问题：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并证明．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，连接CE，∠BAC＝∠DAE＝100°．（1）试说明△BAD≌△CAE；（2）若DE＝DC，求∠CDE的度数．18．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．19．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．20．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF ⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．参考答案第11章1．解：（1）∵∠MON＝60°，∴∠OBA+∠OAB＝120°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×120°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠MON＝90°，∴∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°），即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∴∠ACG＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°．故答案为：120，135．2．解：（1）如图1中，结论：2∠P＝∠A．理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，∴2∠P＝∠A；（2）①延长BA交CD的延长线于F．∵∠F＝180°﹣∠F AD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，由（1）可知：∠P＝∠F，∴∠P＝（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB交DC的延长线于F．∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣．3．解：（1）过E作EF∥AB（如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB∥CD，又∵EF∥AB，∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EF，∴∠2+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，又∵∠1+∠2＝∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝540°；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝720°；（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．4．解：（1）①∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，∴AB∥CD；故答案为：AB∥CD；②证明：过点P作PQ∥AB，则∠EAP＝∠APQ，∴PQ∥CD，∴∠DCP＝∠CPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠DCP＝∠CPQ，∵∠EAP＝∠EAD，∠DCP＝∠ECD，∴∠EAD+∠ECD＝∠APC．（2）由（1）知AD∥BC，AB∥CD，∴∠EAD＝∠B＝70°，∠ECD＝∠E＝60°，由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，∴∠APC＝（70°+60°）＝65°；（3）过点F作FH∥AB，则∠EAD＝∠AFH，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠ECD＝∠CFH，∴∠EAD+∠ECD＝∠AFH+∠CFH＝∠AFC＝∠EFD，由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，∴∠EFD＝2∠APC，∵∠APC＝m°，∠EFD＝n°，∴m＝n．5．解：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A．理由如下：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD，＝180°﹣（∠ADC+∠ACD），＝180°﹣（180°﹣∠A），＝90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）＝（∠A+∠B）．即2∠P＝∠B+∠A．故答案为：2∠P＝∠B+∠A．6．解：（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝30°，∴∠DCB＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+60°＝150°；②∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，∴∠DCB＝130°﹣90°＝40°，∴∠DCE＝90°﹣40°＝50°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE＝90°+90°＝180°；（3）存在，当α＝30°时，AD⊥CE，当α＝45°时，CD⊥BE，当α＝75°时，AD⊥BE，当α＝90°时，AC⊥CE，当α＝120°时，AD⊥BC，当α＝135°时，BE⊥AC．7．解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠2＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC＝∠2﹣∠1＝∠A+∠1﹣∠1＝∠A；（2）探究3：∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．8．解：（1）如图1，过点C作CH∥DF，∵BE∥DF，∴BE∥DF∥CH，∴∠FDC＝∠DCH，∠BCH＝∠EBC，∴∠DCB＝∠DCH+∠BCH＝∠FDC+∠EBC，∵BE，DF分别为四边形ABCD的外角∠CBN，∠MDC的平分线，∴∠FDC＝∠CDM，∠EBC＝，∵∠A+∠BCD＝160°，∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣160°＝200°，∴∠MDC+∠CBN＝160°，∴∠FDC+∠CBE＝80°，∴∠DCB＝80°；（2）如图2，连接GC并延长，同理得∠MDC+∠CBN＝160°，∠MDF+∠NBG＝80°，∵BE∥AD，DF∥AB，∴∠A＝∠MDF＝∠DGB＝∠NBG＝40°，∵∠A+∠BCD＝160°，∴∠BCD＝160°﹣40°＝120°．9．解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠C；（2）∵∠A＝50°，∠C＝150°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣200°＝160°，又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，∴∠OBC＝∠ABC，∠ODC＝∠ADC，∴∠OBC+∠ODC＝（∠ABC+∠ADC）＝80°，∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝130°；（3）∠A、∠C与∠O的数量关系为为：∠C﹣∠A＝2∠O．理由如下：∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO，由（1）可知：∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C，∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C，∴∠C﹣∠A＝2∠O．故答案为：∠C﹣∠A＝2∠O．10．解：（1）不成立．结论是∠BPD＝∠B+∠D 延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B＝∠BED又∵∠BPD＝∠BED+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D．（2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB＝∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB＝∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．第12章11．解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP＝CQ，有2种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；答：点P运动1s或3.5s时，△PEC与△QFC全等．12．（1）证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠F AE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（SAS）；（2）证明：由（1）知，△ABE≌△AFE，∴EB＝EF，∠AEB＝∠AEF，∵∠BEC＝180°，∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∠AEF+∠DEF＝90°，∴∠DEC＝∠DEF，∵点E为BC的中点，∴EB＝EC，∴EF＝EC，在△ECD和△EFD中，，∴△ECD≌△EFD（SAS），∴DC＝DF，∵AD＝AF+DF，AB＝AF，∴AD＝AB+CD．13．解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，∵CA＝CB，∠BEC＝∠CF A；∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．∵∠BCA＝180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF，又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CF A，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝|BE﹣AF|．（2）猜想：EF＝BE+AF．证明过程：∵∠BEC＝∠CF A＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CF A+∠CAF+∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF，EC＝F A，∴EF＝EC+CF＝BE+AF．14．证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，∵MD＝ME，∴∠MAD＝∠MAE，∴∠MAD﹣∠BAD＝∠MAE﹣∠CAE，即∠BAM＝∠CAM，在△ABM和△ACM中，，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB＝MC；（2）MB＝MC．理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，∴BD＝BE′，CE＝CF，∵M是ED的中点，B是DE′的中点，∴MB∥AE′，∴∠MBC＝∠CAE，同理：MC∥AD，∴∠BCM＝∠BAD，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠MBC＝∠BCM，∴MB＝MC；（3）MB＝MC还成立．如图4，延长BM交CE于F，∵CE∥BD，∴∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE，又∵M是DE的中点，∴MD＝ME，在△MDB和△MEF中，，∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB＝MF，∵∠ACE＝90°，∴∠BCF＝90°，∴MB＝MC．15．解：（1）PC＝PD，理由：∵OM是∠AOB的平分线，∴PC＝PD（角平分线上点到角两边的距离相等），故答案为：PC＝PD；（2）证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．16．（1）证明：在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS）．（2）在CB上截取CE＝CA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ACD和△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠CAD＝∠CED＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠EDB＝30°，即∠EDB＝∠B，∴DE＝EB，∵BC＝CE+BE，∴BC＝AC+DE，∴BC＝AC+AD．17．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝100°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠ACB＝40°，∵△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE＝40°，∴∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝80°，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝80°，∴∠EDC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．18．解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝，移动的时间为：÷3＝秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝BC，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm，移动的时间为：÷3＝秒，故答案为：或；（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速为cm/s或cm/s．19．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ANB，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．（3）结论：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，∴•AE•BK＝•CD•BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．故答案为②．20．证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠F AC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠F AC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．。