xa,xb所 围 成 的 图 形 ， 如 下 页 右 图 ， 面 积 微 元
dA[f(x)g(x)d ]x,， 面 积 Ab[f(x)g(x)d ]x. a
y y f (x)
y y f (x)
Ox
x dx
O
a x x dx b x a
bx
y g (x)
（ 3） 由 左 右 两 条 曲 线 x(y)x ,(y)及 yc,yd所
围 成 图 形 （ 图 见 下 页 ） 面 积 微 元 （ 注 意 ， 这 时 就 应 取 横 条 矩
形 dA， 即 取 y为 积 分 变 量 ） dA[(y)(y)d ]y， 面 积
Acd[(y)(y)d ]y.
y d
y dy
x ψ(y) y
O
c
y
1
(1 ,1 )
x (y)
1
A ( 0
xx2)dx3 2x2 31 3x3
1
1 3.
0
例 2 求 y22x及 yx4所 围 成 图 形 面 积 .
解 作 图 （ 如 下 图 ） y
y
+
d
4
y
B
y
O
x
-2 A
求 出 交 点 坐 标 为 A(2,2)B ,(8,4).观 察 图 得 知 ， 宜 取
达 式 的 形 式 就 是 在 这 一 步 被 确 定 的 ， 这 只 要 把 近 似 式 f(i)Δ xi中 的 变 量 记 号 改 变 一 下 即 可 （ i 换 为 x； xi换 为 d x） .
而 第 三 、 第 四 两 步 可 以 合 并 成 一 步 ： 在 区 间 a,b上 无 限 累 加 ， 即 在 a,b上 积 分 .至 于 第 一 步 ， 它 只 是 指 明 所 求 量 具 有 可 加 性 ，
(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问
题的实际意义及数量关系，一般按着在局部x,xdx 上，
以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线 性化） ，写出局部上所求量的近似值，即为微元 dFf(x)dx .
二、用定积分求平面图形的面积
1. 直角坐标系下的面积计算
用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.
n
n
第三步：写出整体量F的近似值，FΔFi ≈f(i)Δxi；
i1
i1
n
第 四 步 ： 取maΔ xxi{}0时 的 f(i)Δxi极 限 ， 则 得
i1
n
Flim
0i1
f(i)Δxi

bf(x)dx.
a
观 察 上 述 四 步 我 们 发 现 ， 第 二 步 最 关 键 ， 因 为 最 后 的 被 积 表
y为 积 分 变 量 ，y变 化 范 围 为 [– 2， 4]（ 考 虑 一 下 ， 若
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
一、 定积分应用的微元法
用定积分计算的量的特点：
(1)所求量 （设为F ） 与一个给定区间a,b有关， 且在该区间上具有可加性.就是说， F 是确定于a,b上 的整体量，当把a,b分成许多小区间时，整体量等于
（ 二 ） 将 微 元 d F 在 a , b 上 积 分 （ 无 限 累 加 ） ， 即 得
b
Fa f (x)dx.
微元法中微元的两点说明：
(1) f(x)dx作 为 Δ F的 近 似 值 表 达 式 ， 应 该 足 够 准 确 ， 确 切 的 说 ， 就 是 要 求 其 差 是 关 于 Δ x的 高 阶 无 穷 小 .即 Δ Ff(x)dxo(Δ x).这 样 我 们 就 知 道 了 ， 称 作 微 元 的 量 f(x)dx， 实 际 上 是 所 求 量 的 微 分 dF;
x
O
x x dx x
例 1 求 两 条 抛 物 线 y2x,yx2所 围 成 的 图 形 的 面 积 .
解 （ 1 ） 画 出 图 形 简 图 （ 如 右 上 图 ） 并 求 出 曲 线 交 点 以 确 定 积 分 区 间 ：
解 方 程 组 y y 2 x x 2 , ,得 交 点 （ 0 ， 0 ） 及 （ 1 ， 1 ） .
n
各部分量之和，即FFi . i1 (2)所 求 量 F在 区 间 a,b上 的 分 布 是 不 均 匀 的 ，
也 就 是 说 ， F的 值 与 区 间 a,b的 长 不 成 正 比 .（ 否 则 的
话 ， F使 用 初 等 方 法 即 可 求 得 ， 而 勿 需 用 积 分 方 法 了 ） .
（ 1 ） 曲 线 yf(x)f((x)0 )x ,a,xb及 O轴 x所 围 图 形 ， 如 下 页 左 图 ， 面 积 微 元 d A f(x)d x， 面 积
A bf(x)d x. a （ 2） 由 上 、 下 两 条 曲 线 yf(x),yg(x)(f(x)g(x)及 )
这 是 F能 用 定 积 分 计 算 的 前 提 ， 于 是 ， 上 述 四 步 简 化 后 形 成 实 用
的 微 元 法 .
定积分应用的微元法：
( 一 )在 区 间 a ,b 上 任 取 一 个 微 小 区 间 x ,x d x ， 然 后 写 出
在 这 个 小 区 间 上 的 部 分 量 Δ F 的 近 似 值 ， 记 为 d F f(x )d x ( 称 为 F 的 微 元 ) ;
( 2 ) 选 择 积 分 变 量 ， 写 出 面 积 微 元 ， 本 题 取 竖 条 或 横 条 作 d A 均 可 ， 习 惯 上 取 竖 条 ， 即 取 x为 积 分 变 量 x ， 变 化 范 围 为 [ 0 ，
1 ] ， 于 是 dA( xx2)dx,

( 3 ) 将 A 表 示 成 定 积 分 ， 并 计 算
用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
n
第 一 步 ： 将 所 求 量 F 分 为 部 分 量 之 和 ， 即 :F Δ F i; i 1
第 二 步 ： 求 出 每 个 部 分 量 的 近 似 值 ， Δ F i ≈ f ( i ) Δ x i ( i 1 , 2 , , n );