面积元素为： [f 上(x)-f 下(x)]dx．
所求图形的面积为：
A=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=f 下(x) x x+dx
bx
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积：
所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差
y = f(x) bx
•在 [a, b]中任意插
入 n -1个分点．
y
y = f(x) f(i)
得n个小区间： [xi-1 , xi ]
f(2) f(1)
区间[xi-1 , xi ]的长
度Dxi xi -xi-1 ．
f(i)Dxi
(i=1, 2 , ···, n)． n
A DAi i 1
O
a 1 x1 2 x2
被积函数=大函数-小函数
例2 计算抛物线y22x 与直线yx-4所围成的图形的面积．
解 画图．求两曲线的交点得：(2，-2)，(8，4)．
将图形向 y 轴投影得区间[-2，4]．
y 2=2x
选 y 为积分变量 y [-2, 4] 4
(8, 4)
[ y, y dy] [-2, 4],
2
y=x-4
lim
0
i1
f (i )Dxi
．记
b
f ( x) dx
a
y
简化步骤：
任取 x, x dx a,b
DA f x dx dA
面积元素 O a
A
b
a
f
x dx
y = f(x)
f(x)dx
x x+dx
bx
二、元素法（微元法）
当所求量U 符合下列条件： “整体量 = 部分量之和”
（1）U 是与一个变量 x的变化区间a, b有关的
y
是否要讨论f上, f下 的正负?
只有x能做积分变量?
y
y=f 上(x)
d x=f 左( y)
x=f 右( y)
Oa
A1
bx
A3
y=f 下(x)
y
c
a
y=f 上(x)
O
A2
y=f 下(x)
bx
O
x
A1=A2=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
A3 = d [f 右(y)-f 左(y)]dy． c
b
b
A= a f 上(x)dx - a f 下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=yf=下f(下x)(x) bx
例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积。
解 两曲线的交点(0,0) , (1,1). 选 x为积分变量x [0,1]
[x, x dx] [0,1]
在[x,x+dx]上 DA ( x -x 2)dx ， y
几何：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
应用： 物理：功；水压力；引力
计算：平均值等．
7.2 几何应用
一、平面图形的面积 二、平面曲线的弧长 三、体积
7.2.1 平面图形的面积
一、在直角坐标情形下求图形的面积 二、在极坐标情形下求图形的面积
一、在直角坐标情形下求图形的面积
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形 的面积．
于是面积元素为 dA = ( x -x 2)dx ，
以( x -x 2)dx为被积表达式，
1
以[0, 1]为积分区间求定积分
y2x yx 2
得所求的图形面积
11
A ( 00
x
-x
22)dx
[
2 3
x
- 33//22
1 3
x] 130130
1 3
．
0
x x+dx 1
x
求出积分区间后,可直接套公式.
讨论：如果下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？
量；
（2）U 对于区间a, b具有可加性，就是说， 如果把区间a, b分成许多部分区间，则U 相应
地分成许多部分量，而整体量U 等于所有部分
量之和；
（3）部分量 DU 的近似值可表示为 f (x)Dx 。
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ；
xi-1 i xi
xn-1 b x
•任取i [xi-1，xi ] ,∆Ai ≈ f ( i) Dxi i=1,2,…,n.
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (i )Dxi ．
四步哪一步 最重要？
i1
•记 max{Dx1, Dx2， ···, Dx n }．则
n
•曲边梯形的面积的精确值为：A=
2) x, x dx a,b， U在[x, x + dx]上的部分量
DU f x dx dU
3）
U
b
a
f
x dx
需要我们找出的 被积表达式
注 DU f x dx 中，f (x)dx必须是DU的线性主部，
即要 DU - f x dx o Dx
此时实际上 f (x)d x = d U
一般地，若曲线由参数方程
x x t
y
y
t
x t 不变号且连续，y ( t ) 连续．
例3
求椭圆 x2 y 2 1所围成的图形面积． a2 b2
解 设椭圆在第一象限的面积为A1，则椭圆的面积为A4A1．
第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为[0，a]．
y
因为面积元素为ydx， 所以
b
A1
a
ydx
0
，
椭圆的参数方程为: xa cos t ， yb sin t ，
于是
注意上下限
第七章 定积分应用和广义积分
7.1 微元法 7.2 几何应用 7.3 物理应用 7.5 广义积分
7.1 定积分的微元法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题 y
曲边梯形由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
x b所围成。
Oa
b
A a f ( x)dx
在[y, y+dy]上面积元素为
dA = (y 4 - 1 y2)dy ，
所求的图形面积为
2
0 2 4 6 8x
-2
(2, -2)
A
4
A
-2
(4y
-2
(y
4
4--1212yy22))dyy
[[1212y
2y24y4-y1-y
6
1
3]
6
y4
-2
3]14-82．18．
思考: 选x为积分变量?
2
8
A 0 [ 2x - (- 2x)]dx 2 ( 2x - x 4)dx
y O dx
x2 y2 1 a2 b2
axБайду номын сангаас
a
A1 0
ydx 0 b sin t d (a cos t) - a b 0 sin 2t d t
2
2
1
a 1ba
b2
(2 1(-1c-ocos s22tt))dd t
11
aabb··
1
a1bab．．
2 2 00
22 2 2 4 4
A 4A1 a b．