向量 数列的综合
(测试时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(共12小题,每题5分,共60分)
1. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11n n
a a +<,若353520,64a a a a +==,则4S =( ) A .63126或 B .252 C.126 D .63
【答案】C
【解析】
考点:(1)等比数列的通项公式;(2)等比数列前n 项和.
2. 【2018湖南五市十校联考】已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和, 396S S S 、、成等差数列,若83a =,则25a a +为( )
A. 3
B. 6
C. 8
D. 9
【答案】B 【解析】由题意得936
93611111121,2111q q q S S S q a a a q q q
---=+?≠?=+--- 6331212q q q ?=+?=-,所以882563
34326a a a a q q +=+=?-?=,选B. 3. 【2018河南豫南豫北联考】已知,60,2,1,,ABC BAC AB AC E F ?∠===为边BC 的两个三等分点,则AE AF ?=( ) A. 54 B. 109 C. 158 D. 53
【答案】D
【解析】∵在△ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,
∴根据余弦定理可知
AB=2,AC=1,
以C 为坐标原点,CA 、CB 方向为x ,y 轴正方向建立坐标系
∵AC=1,C (0,0),A (1,0),B (0,
又∵E ,F 分别是Rt △ABC 中BC 上的两个三等分点,
则E (0,),F (0,)则23351,,1,3AE AF AE AF ????=-=-∴?= ? ? ????
故选D
4. 一个等比数列{}n a 的前n 项和为48,前2n 项和为60,则前3n 项和为( )
A.108
B.83
C.75
D.63
【答案】D 【解析】
考点:等比数列.
5. 【2018安徽蒙城县两校联考】已知非零向量,,a b c 满足0a b c ++=,向量,a b 的夹角为0150,且
23b a =,则向量a 与b 的夹角为( ) A. 060 B. 090 C. 0120 D. 0150
【答案】B
【解析】因为()2222023cos1500a c a a b a a b a a a a a ?=?--=--?=--?
=-+=, 所以a c ⊥,所以a 与c 的夹角为090,故选B .
6. 已知等差数列{}n a 满足23813220a a a -+=,且数列{}n b 是等比数列,若88b a =,则412b b =( )
A.32
B.16
C.8
D.4
【答案】B
【解析】
试题分析:由23813220a a a -+=,得28840a a -=,84a =,84b =,2412816b b b ==.
考点:等差数列,等比数列.
7. 【2018河南漯河中学三模】已知ABC ?是边长为4的等边三角形, P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ?+的最小值为 ( )
A. 3-
B. 6-
C. 2-
D. 83
-
【答案】B 【解析】
∴最小值为6-,故选B 。
点睛:已知图形的向量问题采用坐标法,可以将几何问题转化为计算问题,数形结合的思想应用。坐标法后得到函数关系,求函数的最小值。向量问题的坐标化,是解决向量问题的常用方法。
8. 【2018陕西西安长安区二模】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且1313,,a a a 成等比数列,若11a =, n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2163
n n S a ++ 的最小值为( )
A. 3
B. 4
C. 2
D.
92 【答案】B
【解析】1313a a a ,, 成等比数列, 22131131121120a a a a d d d =∴=∴+=+≠,,(),,
解得d=2. 12121n a n n ∴=+-=-().
()2122n n n S n n -=+?=. ()()
2212192162169122432211
n n n n S n n a n n n +-++++∴===++-≥=++++, 当且仅当911n n +=+ 时即2n =时取等号,且2163
n n S a ++取到最小值4, 故选:A . 9. 已知直线0x y a -+=与圆心
为C 的
圆2270x y ++-+=相交于,A B 两点,且4AC BC =,则实数a 的值为(
)
D.【答案】C
【解析】
试题分析:
圆配方
得(
((222x y +-=
.圆心
为(,3
,半径为
18cos 4,cos ,23
AC BC ACB ACB ACB π=∠=∠=∠=,三角形ACB
为等边三角形,圆心到直线AB
的距离为2=
=
,解得a
考点:直线与圆的位置关系.
10. 等比数列{}n a 中,已知对任意正整数n ,12321n n a a a a +++???+=-,则
2222123n a a a a +++???+等于( )
A.2
(21)n - B.1(21)3n - C.1(41)3n - D.41n - 【答案】C.
【解析】
考点:等比数列的通项公式及其前n 项和.
11. 已知向量a e ≠,||1e =,对任意t R ∈,恒有||||a te a e -≥-,则( )
A .a e ⊥
B .()a a e ⊥-
C .()e a e ⊥-
D .()()a e a e +⊥-
【答案】C
【解析】
试题分析:若向量a e ≠,||1e =,对任意t R ∈,恒有||||a te a e -≥-,则
()()2222||||a te a e a te a e -≥-?-≥-,所以22210t a e t a e
-?+?-,()()
224210,a e a e ?=?-?-≤ ()210a e ∴?-≤,()()
210,a e a e e e a e e a e ?-=?-=?-=∴⊥-,故选C. 考点:平面向量的数量积.
【方法点睛】本题主要考查了平面向量的数量积,考查了转化的思想和一元二次不等式的恒成立问题,属于中档题.本题解答的关键是根据平面向量数量积的性质把||||a te a e -≥-平方,得到关于t 的一元二次不等式,根据三个二次之间的关系,结合二次函数的图象转化为0?≤,进一步根据平面向量数量积的性质得到结论,注意1的代换.
平面向量单元检测题 学校学号成绩 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.若ABCD是正方形,E是CD的中点,且AB a =,AD b =,则BE =() A. 1 2 b a +B.1 2 b a - C. 1 2 a b +D.1 2 a b - 2.下列命题中,假命题为() A.若0 a b -=,则a b = B.若0 a b ?=,则0 a =或0 b = C.若k∈R,k0 a =,则0 k=或0 a = D.若a,b都是单位向量,则a b ?≤1恒成立 3.设i,j是互相垂直的单位向量,向量13 () a m i j =+-,1 () b i m j =+-,()() a b a b +⊥-,则实数m为() A.2 -B.2 C. 1 2 -D.不存在 4.已知非零向量a b ⊥,则下列各式正确的是()A.a b a b +=-B.a b a b +=+ ... . .
... . . C .a b a b -=- D .a b +=a b - 5. 在边长为1的等边三角形ABC 中,设BC a =,CA b =,AB c =,则a b b c c a ?+?+?的值为 ( ) A . 32 B .32 - C .0 D .3 6. 在△OAB 中,OA =(2cos α,2sin α), OB =(5cos β,5sin β),若5OA OB ?=-,则S △OAB ( ) A B . 2 C .5 D . 52 7. 在四边形ABCD 中,2AB a b =+,4BC a b =--,53CD a b =--,则四边形ABCD 的形状是 ( ) A .长方形 B .平行四边形 C .菱形 D .梯形 8. 把函数23cos y x =+的图象沿向量a 平移后得到函数 的图象,则向量 是 ( ) A .( 33 ,π-) B .( 36 ,π) C .( 312 ,π-) D .(312 ,π- ) 9. 若点1F 、2F 为椭圆 的两个焦点,P 为椭圆上的点,当△12 F PF 的面积为1时, 的值为 ( ) A .0 B .1 C .3 D .6 2sin()y x π =-6 a 2214 x y +=1 2 PF PF ?
数学高考《数列》试题含答案 一、选择题 1.已知等比数列{a n },a n >0,a 1=256,S 3=448,T n 为数列{a n }的前n 项乘积,则当T n 取得最大值时,n =( ) A .8 B .9 C .8或9 D .8.5 【答案】C 【解析】 【分析】 设等比数列{a n }的公比为q ,由a n >0,可得q >0.根据a 1=256,S 3=448,可得256(1+q +q 2)=448,解得q .可得a n ,T n ,利用二次函数的单调性即可得出. 【详解】 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a n >0,∴q >0. ∵a 1=256,S 3=448, ∴256(1+q +q 2)=448, 解得q 12= . ∴a n =2561 1()2 n -?=29﹣n . T n =28?27?……?2 9﹣n =2 8+7+…+9﹣n ()217 289[)89242 2 22 n n n ??--- ?+-? ?==. ∴当n =8或9时,T n 取得最大值时, 故选C . 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 2.已知等比数列{}n a 满足13a =,13521a a a ++=,则357a a a ++=( ) A .21 B .42 C .63 D .84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=,选B. 3.数列{}n a 的通项公式为( )n a n c n N * =-∈.则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的( ) 条件. A .必要而不充分 B .充要 C .充分而不必要 D .即不充分也不必要
2011高考数学压轴题专题训练--数列(36页WORD ) 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列{}n a 中,1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ (I )设n n a b n = ,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n S 分析:(I )由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) (II )由(I )知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型, 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009北京理)已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . (Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由;
平面向量高考经典试题 一、选择题 1.(全国1文理)已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,则a 与b A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向 2、(山东文5)已知向量(1)(1)n n ==-,,,a b ,若2-a b 与b 垂直,则=a ( ) A .1 B .2 C .2 D .4 3、(广东文4理10)若向量,a b 满足||||1a b ==,,a b 的夹角为60°,则a a a b ?+?=______; 答案:3 2 ; 4、(天津理10) 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、(山东理11)在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2 AC AC AB =? (B ) 2 BC BA BC =? (C )2AB AC CD =? (D ) 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 6、(全国2 理5)在?ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD =2DB , CD =CB CA λ+3 1 ,则= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、(全国2理12)设F 为抛物线y 2 =4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,若 ++=0,则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、(全国2文6)在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若
高考数学压轴题:交集数列 数列中一类元素交并问题,实际考查思想方法,如最小公倍数、余数分析法,二项式定理应用. 类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=- ,数列{b }n 的通项公式为n b 5 34 n =--. 设集合* {|2,}n A x x a n N ==∈, *{|4,}n B y y b n N ==∈.若等差数列{}n c 任一项 1,n c A B c ∈是A B 中的最大数,且10265125c -<<-,求{}n c 的通项公式. 类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题 典例2已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+,数列{n b }的通项公式为2 n b n =.若将数 列{n a },{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c },则数列{}n c 的通项公式为____. 类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题 典例3 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-, 2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c . (1)试写出1c ,2c ,3c ,4c 的值,并由此归纳数列{}n c 的通项公式; (2)证明你在(1)所猜想的结论. 1. 设数列{a n }的通项公式为12-=n a n ,数列{b n }的通项公式为b n =3n -2.集合A ={x ∣x =a n ,n ∈N * },B ={x ∣x =b n ,n ∈N * }.将集合A ∪B 中的元素从小到大依次排列, 构成数列c 1,c 2,c 3,…,则{c n }的通项公式为___________. 2. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0,设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项, (1)若k=7,12a = (i )求数列{}n n a b 的前n 项和T n ;
数学试卷 第1页(共26页) 数学试卷 第2页(共26页) 绝密★启用前 江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式: 锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0<≤,(-2<≤),,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标 为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------